Jaap van Veen was de zoon van Jacob van Veen en Anna Brigitta Nortman. Hij trouwde op 28 december 1957 met Helena Margaretha (Lena) Zegers.[2]
Hij speelde in de jeugd van AFC Ajax, waar hij ook in het tweede, derde en vierde elftal speelde.[3][4][5][6] Hij debuteerde voor Ajax in de Eerste klasse D op 6 maart 1955, in de met 0-0 gelijkgespeelde thuiswedstrijd tegen VVV. Hij speelde in het seizoen 1956/57 één wedstrijd in de Eredivisie, in de met 1-4 gewonnen uitwedstrijd tegen NOAD. Hij kwam als invaller in het veld voor Sjaak Swart. In 1957 vertrok hij naar Heracles, waar hij tot 1962 speelde.[7] Hierna was hij nog als reserve actief bij DWS.[8]