Legendretransformatie

Diagram dat de legendretransformatie van de functie $f(x)$ illustreert. De functie is rood, en de raaklijn op punt $(x_{0},\ f(x_{0}))$ is blauw. De raaklijn snijdt de verticale as op $(0,\ -f^{\star })$, en $f^{\star }$ is de waarde van de legendretransformatie $f^{\star }(p_{0})$, waar $p_{0}={\dot {f}}(x_{0})$. Merk op dat voor elk ander punt op de rode kromme, een lijn getrokken door dat punt met dezelfde helling als de blauwe lijn de y-as zal snijden boven het punt $(0,\ -f^{\star })$, waaruit blijkt dat $f^{\star }$ daadwerkelijk een maximum is.

In de wiskunde is de legendretransformatie, vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre, een operatie die een reëelwaardige functie van een reële variabele in een andere variabele transformeert. In het bijzonder is de legendretransformatie van een convexe functie ƒ de functie ƒ^* die wordt gedefinieerd door

$f^{\star }(p)=\sup _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}.$