Onderscheidend vermogen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het onderscheidend vermogen, of onderscheidingsvermogen (Engels: power) van een statistische toets is de kans om een nulhypothese terecht te verwerpen, dus de kans dat de toets niet een fout van de tweede soort (type II-fout) maakt. Omdat de alternatieve hypothese vaak samengesteld is, zal het onderscheidend vermogen een functie zijn, wel aangegeven door γ (of ook wel door β), van de mogelijke waarden van de betrokken parameter onder de nulhypothese. Men gaat soms zelfs zo ver dat men deze functie uitbreidt tot alle waarden van de betrokken parameter, ook die onder de nulhypothese.

Als T de toetsingsgrootheid van de toets is en K het kritieke gebied, dan wordt voor h ∈ H1 het onderscheidend vermogen gegeven door:

\gamma (h)=P(T\in K|h).

Voorbeeld[bewerken]

Twee normaal verdeelde populaties A en B met een verschillende behandeling worden vergeleken op basis van steekproeven X respectievelijk Y, elk van omvang n. De standaardafwijkingen van beide populaties zijn gelijk, zeg σ, en de hypothesen voor de verwachtingswaarden luiden:

H_0:\ \mu_A = \mu_B\,

tegen

H_1:\ \mu_A > \mu_B\,

Als toetsingsgrootheid T komt in aanmerking:

\bar{X}-\bar{Y},

maar om de berekeningen eenvoudiger te maken kiezen we:

T = \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sigma}\sqrt{\frac n2},

Gezien de alternatieve hypothese wordt H0 verworpen voor grote waarden van T. De kritieke waarde is zα, bepaald door:

P(T\geq z_\alpha|H_0) = \alpha,

waarin α de verlangde onbetrouwbaarheid is. Het onderscheidend vermogen van deze toets is nu:


\gamma(\Delta) = P(T\geq z_\alpha\mid \mu_A-\mu_B=\Delta)=

=P\left(\left.T-\frac{\Delta}{\sigma}\sqrt{\frac n2} \geq z_\alpha-\frac{\Delta}{\sigma}\sqrt{\frac n2}\ \right|\,\mu_A-\mu_B=\Delta\right)=

=P\left(Z>z_\alpha-\frac{\Delta}{\sigma}\sqrt{\frac n2}\right)
,

gedefinieerd voor Δ > 0. Daarin is Z standaard normaal verdeeld.

Om bij een bepaalde grootte Δ van het verschil tussen de beide populaties een voldoend onderscheidende toets te hebben, kiest men de steekproefomvang zo dat:

\gamma(\Delta) = 1-\beta\,,

dus:

\beta=P\left(Z\leq z_\alpha -\frac{\Delta}{\sigma}\sqrt{\frac n2}\right).

daaruit volgt:

z_\alpha -\frac{\Delta}{\sigma}\sqrt{\frac n2}=-z_\beta,

dus:

n=2\left(\frac{\sigma}{\Delta}(z_\alpha+z_\beta)\right)^2,