Affiene transformatie

Een affiene transformatie is een transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur (punten blijven punten, rechten blijven rechten, vlakken blijven vlakken) en parallellisme behouden blijven.

Als $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ de coördinaten zijn van een punt in de n-dimensionale affiene meetkunde, kan een affiene transformatie voorgesteld worden door:

$\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1j}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{2j}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{ij}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{array}}\right),$

waarbij $A=(a_{ij})$ de matrix is van een lineaire afbeelding van $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ en ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ de translatievector is.

Als de matrix A de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als A een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een homothetie. De translaties en homothetieën vormen een groep, namelijk deze van de dilataties.