Voorwaardelijke kans

We spreken in de kansrekening van een voorwaardelijke kans of conditionele probabiliteit, als we al voorkennis hebben dat een gebeurtenis, zeg A, heeft plaatsgevonden, waardoor de mogelijke uitkomsten beperkt zijn tot A. De voorwaardelijke kans dat een bepaalde gebeurtenis B plaatsvindt, gegeven dat een andere gebeurtenis A plaatsgevonden heeft, genoteerd als $P(B|A)$, is gedefinieerd als:

$P(B|A)={\frac {P(B\cap A)}{P(A)}},$

met andere woorden, de kans dat A en B beide het geval zijn gedeeld door de kans dat A het geval is.

Let op: de streep in de notatie van een voorwaardelijke kans is een rechtopstaande streep, niet een (schuine) deelstreep!

In plaats van de voorwaardelijke kans op B, gegeven A, wordt ook vaak gesproken van de kans op B onder de voorwaarde A.

Verklaring

Als bekend is dat de gebeurtenis B is opgetreden, is het duidelijk dat alleen gebeurtenissen die deel van B uitmaken nog een positieve voorwaardelijke kans kunnen hebben. Gebeurtenissen die buiten B liggen hebben voorwaardelijk kans 0. Verder zullen gebeurenissen binnen B voorwaardelijke kansen hebben die onderling dezelfde verhouding hebben als de onvoorwadelijke. Dus is er een positief getal λ zodat voor elke gebeurtenis A ⊂ B geldt:

$\!\,P(A|B)=\lambda P(A)$

Omdat dit ook voor B geldt en er voorwaardelijk geen kans is buiten B, volgt:

$\!\,1=P(B|B)=\lambda P(B)$

dus:

$\lambda ={\frac {1}{P(B)}}$

Voorbeelden

De kans dat een willekeurig gekozen Nederlander een vrouw is, is 1/2. Weten we dat de gekozen persoon uit Friesland komt, dan is de (voorwaardelijke) kans dat het een vrouw is nog steeds 1/2. In Friesland is immers ook de helft van de bevolking vrouw. Anders is het vermoedelijk als we nagaan of de gekozen persoon met een zachte g spreekt. De voorwaardelijke kans op "een zachte g" als gegeven is dat de gekozen persoon uit Friesland komt, is veel kleiner dan de (onvoorwaardelijke) kans op een Nederlander met een zachte g. In Friesland wordt immers nauwelijks met een zachte g gesproken.

Vaak leiden voorwaardelijke kansen tot resultaten die men niet direct voor de hand vindt liggen.

Van een gezin van vier kinderen is gegeven dat er drie meisjes zijn. Wat is de (voorwaardelijke) kans dat het vierde kind een jongen is? Die kans is 4/5, immers:

$P(3m+j|3m)={\frac {P(3m+j)}{P(3m)}}={\tfrac {P(jmmm\ of\ mjmm\ of\ mmjm\ of\ mmmj)}{P(jmmm\ of\ mjmm\ of\ mmjm\ of\ mmmj\ of\ mmmm)}}={\tfrac {4}{5}}$.

Daarin stelt bijvoorbeeld de reeks "mmjm" de gezinssituatie voor dat de oudste twee kinderen en de jongste meisjes zijn.

Toepassing

Het theorema van Bayes is een belangrijke toepassing van voorwaardelijke kansen.

Generalisatie

Het begrip voorwaardelijke verwachting veralgemeent voorwaardelijke kansen tot stochastische variabelen.