Sierpińskigetal

Een Sierpińskigetal is een oneven natuurlijk getal k waarvoor geldt dat de gehele getallen van de vorm k·2ⁿ + 1 samengestelde getallen zijn (dat wil zeggen geen priemgetallen) voor alle natuurlijke getallen n.

In 1960 bewees Wacław Sierpiński dat er een oneindig aantal oneven gehele getallen k bestaan die geen priemgetallen opleveren.

Het probleem van Sierpiński luidt dan als volgt: "Wat is het kleinste Sierpińskigetal?".

In 1962 stelde John Selfridge de volgende stelling voor, die nu bekend staat als het vermoeden van Selfridge: 78 557 is het antwoord op het probleem van Sierpiński. Selfridge bewees dat 78 557 een Sierpiński-getal is. Meer precies, $78557\cdot 2^{n}+1$ is voor elke n deelbaar door minimaal één van de volgende factoren: 3, 5, 7, 13, 19, 37 of 73.

Om aan te tonen dat 78.557 werkelijk het kleinst mogelijke Sierpińskigetal is, moet aangetoond worden dat alle oneven getallen kleiner dan 78.557 geen Sierpińskigetallen zijn. In 2002 werd dit reeds aangetoond voor bijna alle getallen: voor zeventien andere getallen was nog niet aangetoond dat ze geen Sierpińskigetallen zijn. Seventeen or bust, een distributed computingproject, test de resterende getallen. Het project, nu ondergebracht bij PrimeGrid, heeft tot nu toe van 11 van de 17 getallen aangetoond dat het geen Sierpińskigetallen zijn, als laatste 33.661 in oktober 2007, door te berekenen dat $33661\cdot 2^{7031232}+1$, een getal van 2.116.617 cijfers, een priemgetal is.

Sierpińskigetallen tonen een grote overeenkomst met Rieselgetallen die voldoen aan een sterk gelijkende formule.