Zeven bruggen van Koningsbergen

De zeven bruggen van Koningsbergen is een wiskundig vraagstuk. Het geldt als een van de eerste problemen uit de grafentheorie. Het "probleem" werd voor het eerst in 1736 opgelost door Leonhard Euler.

Het vraagstuk

De stad Koningsbergen (vandaag Kaliningrad) lag in het oosten van Pruisen aan de rivier de Pregel, waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren (hieronder schematisch afgebeeld). De vraag was nu of het mogelijk is om zó te lopen dat je precies één keer over elke brug komt. In sommige versies van het vraagstuk werd ook geëist dat men weer bij het startpunt eindigt.

In 1736 heeft Euler op zeer eenvoudige wijze aangetoond dat dit onmogelijk is. Hij heeft ook laten zien dat het probleem beschouwd kan worden als een probleem op een graaf, waarin het vraagstuk over de bruggen van Koningsbergen als volgt geabstraheerd is:

Kaart van Koningsbergen uit Eulers tijd, met de locatie van de zeven bruggen

Vereenvoudigde kaart

Gereduceerd tot een graaf

In de graaf (rechter afbeelding) wordt elke brug voorgesteld door een lijn, en de eilanden en oevers door een blauw knooppunt. De punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen noemen we punten van oneven graad. Men kan aantonen dat het aantal punten van oneven graad in elke graaf even is. Om een Eulerwandeling of Eulertoer, waarbij men precies één keer over elke lijn loopt, mogelijk te maken, moeten er 0 of 2 punten van oneven graad zijn. Zijn er twee punten van oneven graad, dan moet de wandeling starten in het ene oneven punt en eindigen in het andere oneven punt. Zijn er geen punten van oneven graad, dan kan de wandeling overal beginnen en eindigt de wandeling waar zij begonnen is. Geen van beide is in Koningsbergen mogelijk doordat er meer dan twee punten grenzen aan een oneven aantal lijnen.

Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken, maar meer met hun relatieve vorm.

Euler geldt als een van de grootste wiskundigen, die veel ingewikkelde problemen heeft opgelost. Het probleem van de zeven bruggen is echter kinderlijk eenvoudig, en het is heel goed denkbaar dat iemand anders de oplossing al eerder gevonden heeft.

Variaties op het probleem komt men dikwijls tegen op puzzelpagina's, waarbij wordt gevraagd een figuur te tekenen zonder het potlood van het papier te nemen en zonder een lijn twee keer te tekenen. Dat is eenvoudig als men weet waar men moet beginnen: in een punt van oneven graad (als dat er is). Zijn er meer dan twee punten van oneven graad, dan is er geen oplossing. Natuurlijk is er ook geen oplossing als de figuur niet samenhangend is. Door te kijken naar het aantal punten met een oneven graad is het zelfs mogelijk om zonder te tekenen al te zien of er een oplossing is. Het voordeel is dat bij meerdere figuren, die niet allemaal getekend hoeven te worden, wat tijdsbesparend werkt.

De huidige staat van de bruggen

Twee van de zeven oorspronkelijke bruggen werden vernietigd door het bombardement op Koningsbergen in de Tweede Wereldoorlog. Twee andere werden later door de Russen verwijderd en vervangen door een snelweg. De overige drie bruggen bestaan nog, hoewel er maar twee dateren uit de tijd van Euler en er één door de Duitsers in 1935 werd herbouwd.

In termen van de grafentheorie zijn er nu twee punten waar een even aantal lijnen samenkomt (namelijk twee). Bij twee andere punten komen in de huidige situatie drie lijnen samen. Daarmee is op dit moment een Eulerwandeling wel degelijk mogelijk, hoewel het voor toeristen een onpraktische route zou zijn.

Bronnen

Mediabestanden

Zie de categorie Seven Bridges of Königsberg van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.