Zadelknoop-bifurcatie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 14 sep 2007 10:28

Mee bezig

Aan dit artikel of deze sectie wordt de komende uren of dagen nog druk gewerkt.
Klik op geschiedenis voor de laatste ontwikkelingen.

Zadel-knoop bifurcatie. Horizontaal: de parameterwaarde. Vertikaal: De variabele. Lichtblauw: Stabiel (getrokken) en onstabiel (gestreept) evenwichtspunt. Paarse pijlen: richting waarin het systeem zich ontwikkeld.

De zadel-knoop bifurcatie is onderdeel van de bifurcatietheorie. Het beschrijft hoe in een systeem een stabiele oplossing ontstaat. In werkelijkheid ontstaan altijd twee constante oplossingen (evenwichtspunten) waarvan er één stabiel is.

Het gedrag van de zadel-knoop bifurcatie wordt beschreven met de normaalvorm:

{\frac {dx}{dt}}=\mu -x^{2}

Voor $\mu <0$ heeft het systeem geen evenwichtspunten. Voor $\mu =0$ (het bifurcatiepunt) is er precies één evenwichtspunt. Voor $\mu >0$ zijn er twee evenwichtspunten: een stabiel punt voor $x={\sqrt {\mu }}$ en een onstabiel punt voor $x=-{\sqrt {\mu }}$ .

Het effect van deze bifurcatie is dus dat er "uit het niets" twee evenwichtspunten ontstaan. Eén stabiel, en één onstabiel. Wanneer het systeem de bifurcatie in de omgekeerde volgorde verloopt annihileren de twee evenwichtspunten elkaar waarna beide zijn verdwenen.

Een eenvoudig voorbeeld van de zadel-knoop bifurcatie is een cylinder die afrolt van een helling met een hobbel. Wanneer de hobbel te klein is (of de helling te schuin) heeft dit systeem geen evenwichtspunt. Wanneer de hobbel hoog genoeg wordt krijgt het systeem twee evenwichtstoestanden: een stabiele toestand waarbij het rust tegen de hobbel en de helling. En een onstabiele toestand op de top van de hobbel.

zie ook

Sjabloon:Xnocat

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
 {{wiu2}}
+[[Afbeelding:Bifzadel.PNG|thumb|300px|Zadel-knoop bifurcatie. Horizontaal: de parameterwaarde. Vertikaal: De variabele. Lichtblauw: Stabiel (getrokken) en onstabiel (gestreept) evenwichtspunt. Paarse pijlen: richting waarin het systeem zich ontwikkeld.]]
-De '''zadel-knoop [[bifurcatie]]''' beschrijft hoe in een systeem een stabiele oplossing ontstaat. In werkelijkheid ontstaan altijd twee constante oplossingen (evenwichtspunten) waarvan er één stabiel is.
+De '''zadel-knoop bifurcatie''' is onderdeel van de [[bifurcatietheorie]].
+Het beschrijft hoe in een systeem een stabiele oplossing ontstaat.
+In werkelijkheid ontstaan altijd twee constante oplossingen (evenwichtspunten) waarvan er één stabiel is.
+Het gedrag van de zadel-knoop bifurcatie wordt beschreven met de normaalvorm:
-[[Afbeelding:Bifzadel.PNG|thumb|200px|Zadel-knoop bifurcatie. Horizontaal: de parameterwaarde. Vertikaal: De variabele. Lichtblauw: Stabiel (getrokken) en onstabiel (gestreept) evenwichtspunt. Paarse pijlen: richting waarin het systeem zich ontwikkeld.]]
-Normaalvorm: <math>\frac{dx}{dt}=\mu-x^2</math>
+:<math>\frac{dx}{dt}=\mu-x^2</math>
 Voor <math>\mu<0</math> heeft het systeem geen evenwichtspunten.
@@ Regel 17: / Regel 20: @@
 Wanneer het systeem de bifurcatie in de omgekeerde volgorde verloopt annihileren de twee evenwichtspunten elkaar waarna beide zijn verdwenen.
-Een '''voorbeeld''' van de zadel-knoop bifurcatie is hierboven beschreven met een cylinder die afrolt van een helling met een hobbel.
+Een eenvoudig '''voorbeeld''' van de zadel-knoop bifurcatie is
+een cylinder die afrolt van een helling met een hobbel.
+Wanneer de hobbel te klein is (of de helling te schuin) heeft dit systeem geen evenwichtspunt.
-Dit is ook hoe men zich een zadel-knoop bifurcatie kan voorstellen.
+Wanneer de hobbel hoog genoeg wordt krijgt het systeem twee evenwichtstoestanden:
-Een schuine helling (b.v. in een enegielandschap) heeft geen evenwichtstoestand.
+een stabiele toestand waarbij het rust tegen de hobbel en de helling.
-Maar onstaat er nu een hobbel op de helling, dan ontstaan er twee evenwichtstoestanden.
+En een onstabiele toestand op de top van de hobbel.
-Eén stabiel en één onstabiel.
 ==zie ook==