Axioma

Een axioma is in de wiskunde en logica sinds Euclides en Aristoteles een niet bewezen, maar als grondslag aanvaarde stelling. Een axioma dient zelf als grondslag van het bewijs van andere stellingen. Een axioma maakt deel uit van een deductief systeem. In de mathematische logica heet een deductief systeem een theorie. Bij het opstellen van een theorie moet men met een aantal beperkingen rekening houden:

• axioma's mogen niet met elkaar in tegenspraak zijn
• axioma's mogen niet uit andere axioma's afgeleid kunnen worden

Als axioma's met elkaar in tegenspraak zijn dan is een theorie inconsistent. Een axioma dat uit andere axioma's afgeleid kan worden is overbodig.

Een voorbeeld van een theorie is de rekenkunde van Peano. Deze theorie definieert natuurlijke getallen als volgt:

• Nul is een getal
• Elk getal heeft een opvolger en die opvolger is ook een getal
• Nul is niet de opvolger van enig getal
• Verschillende getallen hebben verschillende opvolgers
• Als nul een bepaalde eigenschap heeft en uit de veronderstelling dat een getal die eigenschap heeft, bewezen is dat zijn opvolger die ook heeft, dan heeft elk getal die eigenschap.

Deze laatste is van essentieel belang bij het bewijs van de ongelijkheid van Bernouilli.

Twee belangrijke eigenschappen van een theorie zijn consistentie en volledigheid. Een theorie is consistent als er binnen de theorie geen tegenspraak afgeleid kan worden. Een theorie is volledig als elke ware stelling die geformuleerd is in de formele taal van de theorie binnen de theorie afgeleid kan worden. De rekenkunde van Peano is consistent, maar niet volledig - Gödels onvolledigheidsstelling bewijst dat elke consistente theorie die ten minste Peano's rekenkunde omvat een ware stelling bevat die onbewijsbaar is binnen die theorie en dus onvolledig is.

Bekende axioma's

• keuzeaxioma
• parallellenpostulaat
• de postulaten van Euclides

Synoniemen

• grondregel
• grondstelling
• postulaat