Daarvoor speelde Kuivasto lane tijd bij Djurgårdens IF. Met deze club won hij het Zweedse kampioenschap in 2003 en 2005 en de Zweedse beker in 2004 en 2005.
Voor hij bij Djurgårdens terechtkwam speelde Kuivasto voor de Finse clubs FC Ilves, MyPa-47, HJK Helsinki (met deze club won hij in 2000 de Finse beker) en de Noorse club Viking FK (met deze club won hij in 2001 de Noorse beker).