Bord van Galton

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het Bord van Galton of quincunx werd ontworpen door de Britse bioloog, fysicus en wiskundige Francis Galton (1822–1911).

Het bord bestaat uit verschillende geschrankte rijen pinnen, met een naar beneden toe oplopend aantal pinnen vanaf één. Het aantal horizontale rijen pinnen is van weinig belang: ze bepalen enkel het aantal bakjes onderaan het bord. Bovenaan bevindt zich een trechter met kogeltjes erin. Elk kogeltje dat naar beneden valt botst eerst op de eerste pin, hetzij naar links, hetzij naar rechts. Hierna botst het op één van de twee pinnen van de tweede rij, hetzij naar links, hetzij naar rechts. Hierna botst het op een van de drie pinnen van de derde rij enz. De kans dat een kogeltje naar de rechterkant botst, is even groot als de kans dat het naar de linkerkant botst, dus telkens een kans van 50%.

                 *
               *   *
             *   *   *
           *   *   *   *
         *   *   *   *   *
       *   *   *   *   *   *
   |   |   |   |   |   |   |   |
   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Het Bord van Galton is een uitstekend voorbeeld van normale kansverdeling: als men de frequenties van het aantal kogeltjes in de bakjes 1 tot en met 7 grafisch voorstelt, verkrijgt men een zogenaamde Gauss-curve.

De kansen dat een kogeltje in de respectievelijke bakjes terechtkomen (voor het voorbeeld van de voorgaande figuur, namelijk met 6 rijen pinnen en dus 7 bakjes) zijn als volgt:

bakje 1: 1/64 = 1*(1/2)^6
bakje 2: 6/64 = 6*(1/2)^6
bakje 3: 15/64 = ...
bakje 4: 20/64
bakje 5: 15/64
bakje 6: 6/64
bakje 7: 1/64

Merk op dat de 6e macht van (1/2) afkomstig is van het aantal bakjes -1 (namelijk 7 - 1 = 6). Merk ook op dat als we dan in de 7e rij van de driehoek van Pascal kijken, we exact dezelfde cijfers terugvinden als de (vetgedrukte) coëfficiënten van onze zevende macht van 1/2, die op haar beurt slaat op de 50% kans die een kogeltje heeft om naar links of rechts te vallen.

Opmerking[bewerken]

Het is niet bepaald dat de quincunx 6 rijen pinnen moet hebben. Dit kunnen er ook meer of minder zijn. Het aantal bakjes is altijd juist één meer dan het aantal rijen. Weet ook dat de coëfficiënten van 1/2, verheven tot de macht van het aantal bakjes -1, overeenkomen met de getallen in de zoveelste (namelijk het aantal bakjes) rij uit de driehoek van Pascal.