Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de algebra , een deelgebied van de wiskunde , bestaat de endomorfismenring van een abelse groep uit de endomorfismen van die groep. Deze endomorfismen vormen een ring , onder de elementsgewijze optelling en de functiecompositie als vermenigvuldiging.
Zij
(
G
,
+
)
{\displaystyle (G,+)}
G
{\displaystyle G}
E
n
d
(
G
)
{\displaystyle \mathrm {End} (G)}
endomorfismenring van
G
{\displaystyle G}
(
h
+
g
)
(
x
)
=
h
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle (h+g)(x)=h(x)+g(x)}
(
h
∗
g
)
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle (h*g)(x)=h(g(x))}
voor alle
h
,
g
∈
E
n
d
(
G
)
{\displaystyle h,g\in \mathrm {End} (G)}
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
Inderdaad is
(
h
∗
g
)
(
x
+
y
)
=
h
(
g
(
x
+
y
)
)
=
h
(
g
(
x
)
+
g
(
y
)
)
=
{\displaystyle (h*g)(x+y)=h(g(x+y))=h(g(x)+g(y))=}
=
h
(
g
(
x
)
)
+
h
(
g
(
y
)
)
=
(
h
∗
g
)
(
x
)
+
(
h
∗
g
)
(
y
)
{\displaystyle =h(g(x))+h(g(y))=(h*g)(x)+(h*g)(y)}
Vanwege de commutativiteit van
G
{\displaystyle G}
(
h
+
g
)
(
x
+
y
)
=
h
(
x
+
y
)
+
g
(
x
+
y
)
=
(
h
(
x
)
+
h
(
y
)
)
+
(
g
(
x
)
+
g
(
y
)
)
=
{\displaystyle (h+g)(x+y)=h(x+y)+g(x+y)=(h(x)+h(y))+(g(x)+g(y))=}
=
h
(
x
)
+
g
(
x
)
+
h
(
y
)
)
+
g
(
y
)
=
(
h
+
g
)
(
x
)
+
(
h
+
g
)
(
y
)
{\displaystyle =h(x)+g(x)+h(y))+g(y)=(h+g)(x)+(h+g)(y)}
Het nulelement van de optelling in de endomorfismenring is het nulhomomorfisme:
0
(
x
)
=
0
{\displaystyle 0(x)=0}
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
De endomorfismenring
E
n
d
(
G
)
{\displaystyle \mathrm {End} (G)}
unitair met het identieke homomorfisme als eenheidselement . 
