Endomorfisme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een endomorfisme een morfisme (of een homomorfisme) van een wiskundig object op zichzelf, dat de structuur van dat object behoudt, Een endomorfisme van een vectorruimte V is bijvoorbeeld een lineaire afbeelding ƒ: V → V en een endomorfisme van een groep G is een groepshomomorfisme ƒ: G → G, enz. In het algemeen kan men spreken over endomorfismen in elke willekeurige categorie. In de categorie van verzamelingen zijn endomorfismen simpelweg functies van een verzameling S op zichzelf.

In elke willekeurige categorie is de samengestelde functie van twee willekeurige endomorfismen van X opnieuw een endomorfisme van X. Hieruit volgt dat de verzameling van alle endomorfismen van X een monoïde vormen, die wordt aangeduid met End(X) (of EndC(X), dit om de categorie C te benadrukken).

Een inverteerbaar, bijectief endomorfisme van X, oftewel een endomorfisme dat tevens een isomorfisme is, wordt een automorfisme genoemd. De verzameling van alle automorfismen is een deelgroep van End(X), die de automorfismegroep van X wordt genoemd en die wordt aangeduid met Aut(X). In het onderstaande diagram geven de pijlen de implicatie aan:

automorfisme \Rightarrow isomorfisme
\Downarrow \Downarrow
endomorfisme \Rightarrow (homo)morfisme

Twee endomorfismen van een Abelse groep A kunnen bij elkaar worden opgeteld omdat (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a). De endomorfismen van een Abelse groep vormen dus een ring (de endomorfe ring). Zo is bijvoorbeeld de verzameling van de endomorfismen van Zn de ring van alle n × n matrices met in de cellen gehele getallen. De endomorfismen van een vectorruimte, module, ring of algebra vormen ook een ring, net zoals de endomorfismen van enig object in een pre-additieve categorie. De endomorfismen van een niet-abelse groep genereren een algebraïsche structuur die bekendstaat als een bijna-ring.

Operator theorie[bewerken]

In enige concrete categorie, met name voor vectorruimten, zijn endomorfismen afbeeldingen van een verzameling op zichzelf, en zij kunnen als unaire operatoren op deze verzameling worden geïnterpreteerd, inwerkend op de elementen en het mogelijk makend om de notie van een banen van elementen te definiëren, enz.

Afhankelijk van de additionele structuur (topologie, metriek, ...), die voor de relevante categorie is gedefinieerd kunnen zulke operatoren eigenschappen zoals continuïteit, begrensdheid, en zo verder hebben.

Voor meer details zie het artikel over operatortheorie.

Zie ook[bewerken]