Extrapolatie

Extrapoleren is het uitbreiden van een reeks getallen met punten die buiten die reeks liggen (het uitbreiden van de getallenreeks met punten die binnen de reeks liggen, noemen we interpolatie). Extrapolatie leidt, in tegenstelling tot interpolatie, meestal tot waarden met grotere onzekerheid, als gevolg van de vaak onbekende factoren die de voortzetting bepalen. Een geëxtrapoleerde waarde kan opgevat worden als een voorspelling op basis van bekende gegevens.

Wiskundige formulering

Stel dat van een onbekende functie f uitsluitend de functiewaarden $f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_n)$ bekend zijn in de n punten $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$. Bij extrapolatie wordt op grond van deze functiewaarden een schatting gemaakt van de functiewaarde $f(a)$ waarbij a buiten het gebied van de x-waarden ligt waarvoor er functiewaarden bekend zijn, dus voor $a < x_1$ of $a > x_n$.

Voor extrapolatie zijn diverse technieken mogelijk. Een daarvan is de hieronder behandelde lineaire extrapolatie.

Enkele voorbeelden

Aanvullen of extrapoleren van een reeks

Als eerste voorbeeld van extrapolatie nemen we het aanvullen van een rij, zoals je die wel ziet als puzzel of in intelligentietesten.

De rij 10, 20, 30, .., .. vullen we aan (extrapoleren we) met 40, 50, ervan uitgaande dat het een rekenkundige reeks is.

De rij 1, 4, 9, .., .. extrapoleren we met 16, 25, ervan uitgaande dat het de rij van kwadraten is.

De lengte van Jantje volgend jaar schatten

Nu voegen we een tijdas of andere afhankelijkheid toe. Bijvoorbeeld, vier jaar geleden was Jantje 1 meter 20 lang, twee jaar geleden was dat 1 meter 30, nu is ie 1 meter 40 lang. Hoe lang is Jantje volgend jaar? We extrapoleren (schatten) de lengte van Jantje tot 1 meter 50 over twee jaar en dus 1 meter 45 volgend jaar.

Het gewicht van een kleine vis schatten

Een ander voorbeeld gaat over een net vol vissen. Een vis met een lengte van 40 cm weegt 2 kg. Een andere van 30 cm weegt 0,8 kg en een vis van 20 cm weegt 0,25 kg. Hoeveel zal een vis van 15 cm wegen? Er is geen lineair verband tussen de lengte en het gewicht van de vissen. We moeten een aanname doen over het verband tussen lengte en gewicht om tot een schatting te komen. We zouden dan bijvoorbeeld tot een extrapolatie van 0,1 kg bij 15 cm kunnen komen.

De kwaliteit van extrapolatie

Een kleinere extrapolatieafstand geeft een betere schatting

Vergelijk met afbeelding links: minder ruis geeft een betere schatting

De kwaliteit van de extrapolatie is dus sterk afhankelijk van onze kennis of aanname van het verband tussen de meetwaarden. De kwaliteit van de extrapolatie neemt af als de extrapolatieafstand toeneemt: het schatten van de lengte van Jantje volgende maand is nauwkeuriger dan de schatting van zijn lengte over drie jaar. De kwaliteit van de extrapolatie neemt ook af als de ruis op de meetwaarden groot is: als mijn weegschaal erg onnauwkeurig is, dan wordt het ook moeilijker om een goede voorspelling te doen van het gewicht van de kleine vis, omdat ik al niet precies weet hoe zwaar de grote vissen zijn.

Bij een kleine correlatielengte kun je beter alleen de laatste punten gebruiken voor extrapolatie

Tenslotte is de kwaliteit van de extrapolatie beter als het verband tussen de meetwaarden gladder is (ofwel: als de correlatielengte langer is): het voorspellen van de lengte van Jantje die in de groei is, gaat een stuk beter dan het voorspellen van de beurskoersen die sterk wisselend zijn. Extrapoleren gaat redelijk goed binnen de correlatielengte, slecht daarbuiten. Een extrapolatie kan worden gedaan over de volledige dataset, of alleen over de datapunten die het dichtst bij de te voorspellen waarde liggen. Ook dit is weer afhankelijk van de correlatielengte. Bij een kleine correlatielengte kun je het beste alleen de dichtstbijzijnde datapunten gebruiken.

Extrapolatiefuncties

Extrapolatie van de temperatuur van een kop thee met behulp van een model

Steile extrapolatiefuncties kunnen de grootste extrapolatiefouten geven

Voorbeelden van extrapolatiefuncties zijn polynomen (nulde, eerste, tweede graads enz.). Een ander bekend voorbeeld is een exponentiële functie. Of als je een goed model hebt van het proces waarvan je data wilt extrapoleren, dan is elke functie mogelijk. Een voorbeeld kan zijn de functie T1 + (T2 - T1) * (1 - exp(- tijd / tijdconstante)) voor de temperatuur van een kop thee met temperatuur T1 = 90°C die in een kamer met temperatuur T2 = 20°C afkoelt. Als je geen goed model hebt, dan geldt dat minder steile functies waarschijnlijk een betere extrapolatie opleveren. Dus liever lineaire extrapolatie dan een tweede orde polynoom. En liever een tweede orde polynoom dan een exponentiële functie.

Niet alleen 1-dimensionale datasets kunnen worden geëxtrapoleerd, ook bijvoorbeeld de vorm van een oppervlak (2-dimensionale functie) of een complexe functie (met een imagionair gedeelte) kunnen worden geëxtrapoleerd.

Zie ook

• Interpolatie