Gamma-matrices

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De vier contravariante gamma-matrices, ook bekend als Dirac-matrices, zijn

 \gamma^0 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad
\gamma^1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\gamma^2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Deze matrices zijn op meer fundamentele wijze gedefinieerd door middel van de anticommutatierelatie

\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_4

waar \{ \} de anticommutator is, \eta^{\mu \nu} de Minkowskimetriek met signatuur (+ − − −) en I_4 de 4x4-eenheidsmatrix.

Deze gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van fermionen (in het bijzonder deeltjes met spin 1/2). Een voorbeeld hiervan is de Diracvergelijking, die in natuurlijke eenheden kan worden geschreven als

(\mathrm{i} \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0

waarbij \psi = \psi(x, t) de (relativistische) golffunctie is, m de massa van het deeltje dat we beschouwen, en we de einstein-sommatieconventie hebben gebruikt (sommatie over de indices \mu = 0, 1, 2, 3).

Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices, dat daarbij ook vaak van pas komt, te noteren als

 \gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .