Gamma-matrices

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De vier contravariante gamma-matrices, bekend als Dirac-matrices, zijn

 \gamma^0 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad
\gamma^1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\gamma^2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Deze matrices zijn op meer fundamentele wijze gedefinieerd door middel van de anticommutatierelatie

 \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_4

waar \eta^{\mu \nu} de Minkowskimetriek met signatuur (+ − − −) is en I_4 de 4x4-eenheidsmatrix.

Deze gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van de elektromagnetische wisselwerking van fermionen. Een voorbeeld hiervan is de Diracvergelijking, die in natuurlijke eenheden kan worden geschreven als

(\mathrm{i} \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0

waarbij \psi = \psi(x, t) de (relativistische) golffunctie is, m de massa van het deeltje dat we beschouwen, en we de einstein-sommatieconventie hebben gebruikt (sommatie over de indices \mu = 0, 1, 2, 3).

Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices, dat daarbij ook vaak van pas komt, te noteren als

 \gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Weyl-matrices

Een andere representatie van de \gamma^\mu zijn de Weyl-matrices.

 \gamma^0 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\gamma^k, k=1,2,3 zijn hetzelfde als in de Dirac representatie.  \gamma^5 is diagonaal.

 \gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .