Gamma-matrices

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Gamma-matrices zijn anticommuterende 4x4-matrices  \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3 die voldoen aan de relaties

 \gamma^0 \gamma^0 = I, \quad \gamma^k \gamma^k = -I, \quad k=1,2,3

en voor  \mu \neq \nu

 \gamma^\mu \gamma^\nu = -\gamma^\nu \gamma^\mu, \quad \mu, \nu = 0, 1, 2, 3

waar I de 4x4-eenheidsmatrix is. Deze relaties kunnen samengevat worden als

 \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 g^{\mu \nu} I .

g^{\mu \nu} is de metrische tensor

 g^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} .

Er zijn veel mogelijkheden om te voldoen aan deze relaties.

Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices te noteren als

 \gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 .

De gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van de elektromagnetische wisselwerking van fermionen. De Diracvergelijking kan in relativistische eenheden worden geschreven als

(\mathrm{i} \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0

waarbij  \psi = \psi(x^\mu) de (relativistische) golffunctie is, \partial_\mu = \partial / \partial x^\mu, \; x^0=t, \quad m is de massa van het fermion, en de einstein-sommatieconventie is gebruikt (sommatie over de index \mu).

Dirac-matrices

De Dirac-matrices voldoen aan bovenstaande relaties en zijn dus gamma-matrices.

 \gamma^0 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad
\gamma^1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\gamma^2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
 \gamma^5 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Weyl-matrices

Ook de Weyl-matrices zijn gamma-matrices:

 \gamma^0 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\gamma^k, k=1,2,3 zijn hetzelfde als in de Dirac matrices.  \gamma^5 is diagonaal.

 \gamma^5 = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

De Weyl-matrices zijn bekend als de spinor representatie.