Gebruiker:Tomenfre/Concept Glad getal

Een glad getal is een geheel getal waarvan de absolute waarde te ontbinden is in kleine priemfactoren. Door in de definitie gebruik te maken van de absolute waarde, kunnen we ook negatieve getallen glad noemen.

Een geheel getal $x$ is $y$-glad als $|x|\leq y$. Een voorbeeld van een 7-glad getal is 1050, want $|1050|=2$$\cdot$$3$$\cdot$$5^{2}$$\cdot$$7$. We zien dat 1050 te ontbinden is in priemfactoren die alle kleiner dan of gelijk aan 7 zijn.

We definiëren $S(x,y)$ als de verzameling van positieve getallen kleiner of gelijk aan $x$ die $y$-glad zijn. Het aantal getallen in de verzameling wordt $\Psi (x,y)$ genoemd. Hieruit volgt direct dat de kans dat een willekeurig geheel getal kleiner dan of gelijk aan $n$ $y$-glad is, wordt gegeven door $\Psi (n,y)/n$.

Toepassingen

Gladde getallen worden onder meer gebruikt om priemfactorontbindingen te vinden, bijvoorbeeld bij gebruik van de kwadratische zeef of de getallenlichamenzeef. Bij deze methoden wordt gebruik gemaakt van Fermats factorisatiemethode, waarbij getallen $a$ en $b$ worden gezocht zodat $N|a^{2}-b^{2}$. Aan de priemfactorontbinding van een getal is direct te zien of het getal een kwadraat is, aangezien in dat geval elke priemfactor een even aantal keren voorkomt in de ontbinding. In de eerder genoemde methoden moet vaak bepaald worden of een getal een kwadraat is. Om de rekentijd te beperken, probeert men daarom gebruik te maken van getallen die zich snel laten ontbinden in priemfactoren. Gladde getallen zijn hier een voorbeeld van.

Bronnen, noten en/of referenties