- Geval 1
Er is een met . Nu is en , zodat , dus .
Zij met . Schrijf -tallig:
- met en
Dan is
- dus
Maar
Nu is
- en
dus
Dus
Als , volgt
zodat
Samen met blijkt dus dat voor elke keuze van (anders zou , zodat ). Bijgevolg moet voor iedere gelden .
Dus is voor alle :
of herschreven
Uit symmetrie volgt dan gelijkheid.
Omdat willekeurig zijn, is er een constante waarvoor
d.w.z.
voor alle .
Dus is ook voor alle , waarmee de equivalentie is aangetoond.
- Geval 2
Voor alle is . Maar dan is er een priemgetal , en dat is het enige, waarvoor . Stel namelijk dat voor het priemgetal ook geldt dat .
Kies dan zo, dat en . Volgens het algoritme van Euclides zijn er gehele getallen waarvoor . Dan volgt
wat een tegenspraak inhoudt.
Elke is het product van priemgetallen, dus:
- ,
met en als niet deelbaar is door .
Maar dan is ook voor alle
dus is equivalent met een -adische absolute waarde.