Vijfhoek

Een vijfhoek of pentagoon is een figuur met vijf hoeken en vijf zijden. "Penta" is Grieks voor vijf, "gonos" is Grieks voor hoek.

Regelmatige vijfhoek

constructie van een vijfhoek met een passer

De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn 108°. Met twaalf regelmatige vijfhoeken kan in drie dimensies een dodecaëder gevormd worden.

Een manier om een regelmatige vijfhoek te construeren met als enige instrument een passer werd al gegeven door Euclides.

• Teken een horizontale lijn.
• Teken een loodlijn op de horizontale lijn. Neem een punt boven de horizontale lijn. Teken nu met een passer een cirkel met twee snijpunten met de horizontale lijn. Zet de passerpunt in een van deze punten en trek een cirkel naar de onderzijde van de horizontale lijn, doe dit ook met het andere punt, teken nu een lijn door het verkregen snijpunt en gekozen punt boven de horizontale lijn. Het snijpunt met de horizontale lijn is punt O.
• Teken een cirkel met het middelpunt (O) (groen) waarop de hoekpunten (AFHGE) van de vijfhoek moeten komen. Het snijpunt met de loodlijn met de groene cirkel is punt A.
• Een van de kruisingen van de groene lijn met de horizontale lijn noem je punt B.
• Deel lijn OB in twee gelijke stukken dit is punt C. Doe dit door in punt B een cirkel door O te tekenen. Trek nu verticaal een lijn door de snijpunten van deze cirkel en de eerste cirkel (groen). middelloodlijn (deze staat niet gegeven in de afbeelding).
• Zet nu, de passerpunt op punt C, en de potlood punt op A. Teken een deel van de cirkel (Rood) tot je een snijpunt hebt met de horizontale lijn, dit is punt D. Lijnstuk OD ligt aan de andere kant dan lijnstuk OC.
• Zet de passerpunt in A, trek nu een cirkel door D. De cirkel heeft nu twee snijpunten met de eerste cirkel (groen). Dit zijn de punten E en F.
• Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in E en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste cirkel is punt G.
• Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in F en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste cirkel is punt H.
• Zet nu ter controle de passerpunt zonder de passer te veranderen in punt G, de cirkel moet nu door punt H lopen.
• Verbind de vijfhoeken (AFHGE) en je hebt een gelijkmatige vijfhoek.

Formules

Hieronder staan een aantal formules voor het berekenen van de oppervlakte, hoogte, omtrek, e.d. als alleen de lengte van een zijde gekend is:

$r = \frac{z}{\sqrt{2.5 - \sqrt{1.25}}} \simeq \frac{z}{1.17557}$

$O = 5z$

$A = 2.5z \cdot \sqrt{r^2 - 0.25z^2}$

$M = \sqrt{r^2 - 0.25z^2}$

$H = \sqrt{r^2 - 0.25z^2} + r$

• z = Lengte van één zijde van vijfhoek
• r = Straal van de vijfhoek (de lengte van het middelpunt naar één van de vijf hoeken)
• O = Omtrek van de vijfhoek
• A = Oppervlakte van de vijfhoek
• M = Hoogte van het middelpunt van de vijfhoek
• H = Hoogte van de vijfhoek

Pentagram

Een pentagram is een gelijkmatige vijfpuntige ster. Het verkrijgen van de punten is gelijk aan die van een regelmatige vijfhoek. Zie hierboven. Bij het trekken van de punten slaat men telkens een punt over. Men verbind de lijnen als volgt: Van A naar H naar E naar F naar G terug naar A.

Zie ook

• driehoek
• vierhoek
• zeshoek
• polygoon
• Het Pentagon, een gebouw in de vorm van een vijfhoek
• Taoïsme
• Isoperimetrisch quotiënt
• Voor ruimtelijke vijfhoek zie dodecaëder

Mediabestanden

Zie de categorie Pentagons van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.