Brkić komt uit de jeugdopleiding van Vojvodina.[1] In 2005 leende die club hem twee jaar uit aan Proleter Novi Sad. In juli 2011 legde het Italiaanse Udinese anderhalf miljoen euro op tafel om de doelman over te nemen.[2] Omdat Samir Handanovič op dat moment eerste doelman was, besloot Udinese om Brkić een jaar te laten rijpen bij Siena. Bij die club speelde hij achttien wedstrijden. Op 9 juni 2015 vertrok hij naar Cagliari, om daar een half seizoen op huurbasis te spelen.[2] In het seizoen 2015/2016 werd Brkić ook verhuurd, ditmaal aan Carpi. In juli 2016 vertrok Brkić definitief bij Udinese, toen hij voor een onbekend bedrag naar PAOK Saloniki overstapte.
.svg){kind=small}
Joegoslavië
PAOK Saloniki
· 
· 
·
21 Rahman ·
22 Schwab ·
23 Sastre ·
27 Ozdojev ·
29 Vrakas ·
31 Ricardo ·
33 Samatta ·
42 Kotarski ·
50 F. Soares ·
55 R. Soares ·
64 Talichmanidis ·
71 Thomas ·
77 Despodov ·
88 Antônio ·
95 Tzimas ·
Coach: Lucescu