Naar inhoud springen

Aliquotrij

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de getaltheorie is de aliquotrij van een natuurlijk getal een rij getallen die begint met dat getal en waarvan verder ieder getal de aliquotsom is van het getal dat in die rij eraan vooraf gaat.[1] Het komt uit het Latijn, van aliquot, alius, anders en quot, hoeveel.

Voorbeelden
  • Is , dan is, met als functie die de aliquotsom van geeft:[2]
, enz.
De aliquotrij van het getal is dan: .
  • Is , dan is:
De aliquotrij van is dan: .

De aliquotrij van een willekeurig natuurlijk getal kan, op basis van bovenstaande definitie, worden geschreven als:

Of, recursief gedefinieerd met als algemene term van de rij:

Onderdeel van deze definitie is toegevoegd, opdat de rijen die met een zouden eindigen, dan doorlopen met .[3]

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • Veel aliquot-rijen eindigen met , omdat de op twee na laatste term in zo’n rij een priemgetal is (dat per definitie alleen als echte deler heeft). De eerste vijfendertig getallen met die eigenschap zijn:[4]
  • De aliquotrij van een perfect getal (zoals de getallen en ) eindigt niet, maar repeteert:
  • De aliquotrij van een bevriend getal is eveneens repeterend. Immers, als de getallen en bevriend zijn, dan is per definitie en . De aliquotrij van is dan:
  • Er zijn ook aliquot-rijen die repeteren zonder dat het startgetal een perfect of een bevriend getal is.
Voorbeeld. Voor is:
, enzovoort.
De aliquotrij van is dan: .

Vermoeden van Catalan-Dickson[bewerken | brontekst bewerken]

De Belgische wiskundige Catalan (1814-1894) formuleerde in 1888 het volgende vermoeden omtrent aliquot-rijen:

Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal.

Dit vermoeden is in 1913 is door Dickson (1874-1954) aangescherpt tot:[5]

Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal, of gaat over in een repeterende rij.

Het blijft nog steeds bij een vermoeden omdat van enkele getallen niet bekend is hoe ze eindigen. Dit zijn onder meer de zogenoemde Vijf van Lehmer: 276, 552, 564, 660 en 966.[6]