Getal (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid. Oorspronkelijk was het begrip getal synoniem met aantal, dus voor de getallen een, twee, drie, enz., maar het heeft een ruimere betekenis gekregen, zodat ook gebroken, negatieve en zelfs complexe getallen als getal aangemerkt worden. Naast hun gebruik voor tellen en meten, worden getallen vaak gebruikt als label (zoals bij telefoonnummers), voor ordening (zoals bij serienummers) en voor codering (zoals bij ISBN-nummers).

Een getal verschilt van een cijfer: cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven.

Getallen als begrip zijn taalonafhankelijk. Ook de symbolische voorstelling van getallen in de decimale schrijfwijze is op enige kleinigheden na in de meeste talen hetzelfde. In gesproken taal en geschreven als woord heeft men wel een taalafhankelijke voorstelling van getallen door middel van telwoorden. Een voorbeeld van regelmatige benaming vindt men in het Esperanto.

Datatypen voor getallen zijn onder meer diverse varianten van integer en zwevendekommagetal.

Geschiedenis[bewerken]

Getalsysteem van de Maya's

Zie ook het algemene artikel Geschiedenis van de wiskunde.

Getallen zijn een prehistorische uitvinding: alle volkeren die het schrift hebben uitgevonden, beschikten vanaf de oudste teksten over een manier om getallen op te schrijven. Uit de prehistorie bestaan materiële bronnen onder meer in de vorm van kerfstokken. Het zetten van streepjes is de oudst bekende manier om een getal aan te duiden. Het is nog steeds in gebruik, met name in de vorm van turven.

De oudste bewaarde documenten met getallen zijn Mesopotamische kleitabletten. De volkeren van Mesopotamië beschikten over een positioneel systeem, dat wil zeggen dat de waarde van een symbool afhangt van de plaats waar het wordt geschreven - zoals bij ons het cijfer 1 in het getal 100 een grotere waarde heeft dan datzelfde cijfer in het getal 210. Het Mesopotamische positionele systeem was evenwel niet tiendelig zoals het onze, maar zestigdelig. Zij kenden ook breuken, maar hadden geen symbool voor het cijfer 0. Ongeveer in dezelfde periode hadden de Egyptenaren een getalstelsel, dat evenwel in verscheidene opzichten minder krachtig was (geen positioneel systeem, en alleen stambreuken).[1]

De Mayacultuur uit Midden-Amerika beschikte over een twintigdelig positioneel systeem met inbegrip van een symbool voor 0. Voor zover uit de schaarse bronnen kan worden nagegaan, kenden zij geen breuken. Chinese wiskundigen beschikten al voor de tijd van het Keizerrijk over een tiendelig systeem zoals het onze, waarin na verloop van tijd ook de 0 opduikt (met het hedendaagse symbool). In het belangrijkste werk van de Chinese wiskunde, De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst, komen breuken voor.[1]

In de Oud-Griekse, Romeinse en middeleeuwse Europese cultuur werden getallen niet-positioneel genoteerd (zie Romeinse cijfers).

Oud-Griekse wiskundigen zoals Euclides kenden breuken als verhoudingen, maar beschouwden ze niet als op zichzelf staande objecten zoals natuurlijke getallen. Een getal is bij Euclides "een veelheid samengesteld uit eenheden", wat impliceert dat zelfs 1 geen echt getal is.[2]

De Romeinen gebruikten geen talstelsel, maar hadden een geheel eigen manier om getallen te schrijven, waarin de positie van de tekens (bijna) niet belangrijk was. Zij gebruikten letters als cijfers: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. De letters worden in combinaties gebruikt, dus 234 = CCXXXIV. Om de getallen in te korten wordt in plaats van 4 maal I een I voor het volgende symbool gezet. Dus IV in plaats van IIII, XL in plaats van XXXX en CM in plaats van DCCCC. Romeinse cijfers worden nog steeds gebruikt op gebouwen om het bouwjaar aan te duiden en om uitgebreide tabellen te ondersteunen.

Doordat de volgorde bijna onbelangrijk is, was het voor de Romeinen mogelijk om een zin of vers te schrijven, en door alle letters die ook getallen representeren een jaartal te vormen. Zo'n vers wordt carnacioen genoemd.

De Romeinse cijfers zijn erg omslachtig om mee te rekenen. Sommen zoals die nu bij ons op school worden geleerd, waren met Romeinse cijfers bijna onmogelijk. Bovendien misten de Romeinen het concept en symbool voor 0 (nul).

Onze huidige 10 cijfers zijn afkomstig uit India; in 662 rapporteert een westerse reiziger dat de Indiërs hun getallen noteren "met 9 symbolen", wat erop wijst dat ze een positioneel stelsel hadden waar de 0 niet in voorkwam. De nul duikt er op vóór het jaar 900. Ze kenden breuken maar geen decimale schrijfwijze van het breukdeel van een getal. De Arabische cultuur nam de Indische cijfers al snel over, en het systeem wordt uitgebreid beschreven door Al-Chwarizmi. In het Westen worden deze cijfers pas in de 13de eeuw beschreven, en het waren aanvankelijk Fibonacci (wiens familie handel dreef in Noord-Afrika) en later François Viète, Simon Stevin en John Napier die hun gebruik populariseerden. Tot het eind van de 16de eeuw werden breukdelen meestal naar Mesopotamisch voorbeeld zestigdelig geschreven, wat onder meer verklaart waarom een uur nog steeds bestaat uit 60 minuten of 3600 seconden.[1] Het gebruik van verschillende symbolen voor verschillende cijfers en het introduceren van de 0 maakte een positionele notatie mogelijk en vereenvoudigde het rekenen. De Europese en Arabische cijfers verschillen aanzienlijk van vorm, maar het principe van een tiendelig positioneel stelsel is identiek.

Getalverzamelingen[bewerken]

Traditionele getallenverzamelingen[bewerken]

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Hyperreële getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

In de wiskunde worden de getallen doorgaans ingedeeld in verschillende verzamelingen. De verzamelingenleer zelf is deels ontstaan vanuit vraagstellingen over de aard der reële getallen en hun verband met de rationale getallen.

Het klassieke getalbegrip is dat van het aantal elementen van een eindige verzameling, waaraan in een iets recenter verleden ook de 0 werd toegevoegd: de natuurlijke getallen (0, 1, 2 ...), voorgesteld door de verzameling .

Grotere getallenverzamelingen ontstaan wanneer men een vorm wil geven aan "denkbeeldige" oplossingen van een vergelijking die in de tot dan toe beschouwde getallen onoplosbaar is.[3] Zo heeft de vergelijking geen oplossing in de natuurlijke getallen, maar wel als we negatieve getallen toelaten;[4] de natuurlijke getallen worden dan een deelverzameling van de gehele getallen die, naast de positieve gehele of natuurlijke getallen, ook de negatieve gehele getallen bevat.

Deze verzameling kan verder uitgebreid worden met de getallen die enkel als breuk te schrijven zijn, om "onoplosbare" vergelijkingen zoals te behandelen: deze verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld als . De deelverzameling van de rationale getallen die een eindige decimale voorstelling hebben, worden decimale fracties of decimale getallen genoemd, soms weergegeven met .

Ook in de rationale getallen bestaan er eenvoudige algebraïsche vergelijkingen die onoplosbaar zijn. De Oude Grieken wisten al dat de vierkantswortel van 2 niet als een breuk kan worden geschreven, met andere woorden dat niet oplosbaar is in [5] In een modern kader haalt men hieruit de definitie van de algebraïsche getallen: de kleinste lichaamsuitbreiding van waarin elke veelterm in één veranderlijke met rationale coëfficiënten ontbindbaar is in factoren van de eerste graad.

Historisch zijn echter eerst de reële getallen beschreven, door een procédé dat eerder analytisch dan algebraïsch is. Men vertrekt van de vaststelling dat er grootheden bestaan, zoals π, de wortel uit twee en het getal e, die niet in breukvorm te schrijven zijn; zij vormen de irrationale getallen. Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling van reële getallen, voorgesteld door . De verzameling der reële getallen wordt meestal gedefinieerd als de topologische vervollediging van de rationale getallen, dat wil zeggen de limieten van Cauchyrijen in . Een andere mogelijke definitie, die niet uitdrukkelijk gebruik maakt van limieten, gaat als volgt:

We stellen vast dat ieder rationaal getal de verzameling in twee disjuncte delen splitst: enerzijds de breuken die kleiner dan of gelijk aan zijn, en anderzijds de breuken die strikt groter zijn dan Ieder element van de eerste deelverzameling is strikt kleiner dan ieder element van de tweede. Er bestaan echter ook andere tweedelingen met zodat maar die niet door een dergelijke breuk worden voortgebracht; die andere tweedelingen noemen we de irrationale getallen. Een reëel getal is een tweedeling van de rationale getallen volgens de relatie "is strikt kleiner dan".

De complexe getallen ontstaan door aan een oplossing van de (niet reëel oplosbare) algebraïsche vergelijking toe te voegen, de imaginaire eenheid In deze verzameling, voorgesteld met de letter zijn alle algebraïsche vergelijkingen oplosbaar; men zegt dat de complexe getallen algebraïsch gesloten zijn.

We krijgen de volgende ordening tussen de verschillende verzamelingen:

(⊂ betekent "is een ware deelverzameling van")

De verzameling ligt tussen en maar is niet vergelijkbaar met omdat er ook niet-algebraïsche reële getallen (zgn. transcendente reële getallen) bestaan. De vierkantswortel uit 2 is algebraïsch, maar de hierboven aangehaalde en zijn transcendent: ze zijn nulpunten van geen enkele veelterm met rationale coëfficiënten.

Het begrip oneindig wordt gewoonlijk niet als een getal beschouwd, hoewel er in bepaalde gevallen ook rekenregels voor gelden. Het is echter niet zo dat elk oneindig aantal evenveel is, daarom heeft men de natuurlijke getallen uitgebreid tot kardinaalgetallen en ordinaalgetallen. Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal als er tussen de verzamelingen een bijectie bestaat; twee welgeordende verzamelingen hebben hetzelfde ordinaalgetal als er een bijectie bestaat die de welordening respecteert.

Hypercomplexe getallen[bewerken]

Zie Hypercomplex getal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Nog andere getalverzamelingen zijn:

Beiden zijn uitbreidingen van de complexe getallen waarin een deel van de rekenkundige regels bewaard blijft.

Getallen met speciale eigenschappen[bewerken]

Daarnaast zijn er verzamelingen van getallen met bijzondere eigenschappen. Een eenvoudig voorbeeld daarvan zijn de even en oneven getallen. Het meest fundamenteel en bekend zijn waarschijnlijk de priemgetallen, die een basis vormen voor de vermenigvuldiging. Getallen die het product zijn van twee of meer priemgetallen heten dan weer samengesteld. Perfecte getallen zijn dan weer getallen waarvan de som van de echte delers opgeteld gelijk zijn aan het getal zelf.

Andere voorbeelden van bijzondere soorten natuurlijke getallen zijn:

Binnen de algebraïsche getallen onderscheidt men soms bijzondere deellichamen of deelringen waarvan de elementen met eenvoudige middelen kunnen worden bereikt vanuit de rationale getallen:

  • Construeerbare getallen zijn afstanden die meetkundig kunnen worden geconstrueerd vanuit lijnstukken met rationale lengtes door alleen gebruik te maken van een passer en een ongemarkeerde liniaal. De stelling van Gauss-Wantzel zegt dat de zijde van een regelmatige -hoek, ingeschreven in een cirkel met straal 1, construeerbaar is als en slechts als het product is van een macht van 2 met nul of meer onderling verschillende Fermat-priemgetallen. Het eerste tegenvoorbeeld is de regelmatige zevenhoek.
  • Radicale getallen zijn getallen die kunnen worden geschreven door alleen gebruik te maken van rationale getallen, de vier hoofdbewerkingen, -de machtswortels en haakjes. De stelling van Abel-Ruffini bewijst dat niet alle algebraïsche getallen radicaal zijn.
  • Algebraïsche gehele getallen zijn (niet noodzakelijk reële) nulpunten van polynomen met gehele coëffiënten waarvan de hoogstegraadscoëfficiënt 1 is (monische veeltermen). De vierkantswortel uit 2 en de imaginaire eenheid zijn algebraïsche gehele getallen omdat ze respectievelijk nulpunten zijn van de monische veeltermen en

p-adische getallen[bewerken]

Zie P-adisch getal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De meest gebruikelijke definitie van de reële getallen stelt gelijk aan de topologische vervollediging van de rationale getallen ten opzichte van de afstandsfunctie In de getaltheorie worden alternatieven voor de absolute waarde bestudeerd, valuaties genaamd. Met een gegeven vast priemgetal wordt een valuatie geassocieerd die van een metrische ruimte maakt, en het lichaam der -adische getallen is de topologische vervollediging van ten opzichte van die afstandsfunctie. In tegenstelling tot die een topologisch volledige algebraïsche sluiting heeft, is de algebraïsche sluiting van topologisch niet meer volledig; door echter van die verzameling op haar beurt de topologische vervollediging te nemen, bekomt men een lichaam dat zowel algebraïsch gesloten als topologisch volledig is: de -adische complexe getallen.

Getallen schrijven in het Nederlands[bewerken]

Hoe voluit schrijven?[bewerken]

Alle getallen beneden de duizend worden aan elkaar geschreven. Na het getal duizend volgt een spatie als duizendscheider. Ook komt er een spatie voor en na miljoen, miljard, biljoen enzovoort. Getallen onder de 10 000 kunnen als veelvouden van 100 of van 1000 worden gelezen, bijvoorbeeld het getal 1 282 kan als duizend tweehonderdtweeëntachtig of als twaalfhonderdtweeëntachtig worden uitgesproken. De schrijfwijzen zijn in beginsel taalafhankelijk: in andere talen gelden andere regels.

Voorbeelden:

  • 22 500 = tweeëntwintigduizend vijfhonderd
  • 5 143 317 = vijf miljoen honderddrieënveertigduizend driehonderdzeventien
  • 100 000 000 = honderd miljoen

De taalafhankelijkheid geldt ook voor de namen voor grote getallen: waar in het Nederlands voor het getal 1 000 000 000 het woord miljard gebruikt wordt, is het in angelsaksische landen gebruikelijk dit een billion te noemen, terwijl een biljoen in het Nederlands weer wijst naar 1 000 000 000 000 (zie korte en lange schaal).

Wanneer voluit schrijven?[bewerken]

Het al dan niet voluit schrijven van getallen is afhankelijk van de context, de smaak en de stijl. Doorgaans werkt de volgende regel: eenvoudige getallen betreffende de leeftijd, aantallen of de hoeveelste keer zijn voluit geschreven. Jan werd op zijn negentiende voor de tweede maal opgeroepen. Zijn dienstplicht vervulde hij samen met vierduizend man. Getallen die (meestal) met cijfers geschreven worden, zijn:

  • Financiële bedragen, zoals prijs, loon
  • Jaartallen
  • Datum, zoals geboortedatum
  • Huisnummer
  • Postcode
  • Telefoonnummer, pincode, bankrekeningnummer

Weergave van getallen[bewerken]

Talstelsels[bewerken]

Als een getal niet voluit wordt geschreven, hanteren moderne teksten bijna in alle omstandigheden het tientallige stelsel, dat is het gebruikelijke positionele stelsel waarin een getal wordt voorgesteld als een opeenvolging van de cijfers 0-9, en waarbij de waarde van ieder cijfer afzonderlijk afhangt van de plaats in de rij (eenheden, tientallen, honderdtallen, enz.).

Het tientallige stelsel is een voorbeeld van wat in het algemeen een talstelsel heet. Hierbij wordt het getal geschreven als een rijtje cijfers, waarbij elk cijfer afkomstig is uit het gekozen talstelsel. Gewoonlijk worden getallen decimaal geschreven, maar in de informatica wordt vooral voor natuurlijke getallen ook veel binair, octaal en hexadecimaal gewerkt.

De algemene formule voor het werken met n-tallige stelsels is:

De machten van zijn de gewichten of weegfactoren van de cijfers.

Wetenschappelijke notatie[bewerken]

Zie Wetenschappelijke notatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In wetenschap en techniek komen soms getallen voor die zo groot zijn, of zo dicht bij nul liggen, dat de gewone decimale schrijfwijze onpraktisch wordt door het grote aantal nullen. De wetenschappelijke notatie lost dit op door de komma te verschuiven: het getal wordt geschreven als product van enerzijds een getal tussen 1 en 10 (eventueel voorafgegaan door een minteken) met anderzijds een positieve of een negatieve macht van 10.

Het gebruik van voorvoegsels zoals kilo en centi is een variant op de wetenschappelijke notatie die teruggaat tot de begindagen van het metrieke stelsel.

Voorstelling van getallen in computers[bewerken]

De eerder opgesomde getallenverzamelingen zijn oneindig; om ieder willekeurig getal exact te kunnen opslaan, zou het geheugen van een computer dus oneindig groot moeten zijn. Daarom worden een aantal eindige deelverzamelingen gehanteerd die een compromis zijn tussen praktische bruikbaarheid en benodigde geheugenruimte. In het algemeen vallen twee klassen van voorstellingen te onderscheiden: voorstellingen met vaste komma, waarvan de gehele voorstellingen een belangrijke deelklasse vormen, en voorstellingen met zwevende komma, een binaire variant van de wetenschappelijke notatie. Binnen de twee klassen wordt dan nog onderscheid gemaakt naargelang van de hoeveelheid beschikbaar geheugen, de zogenaamde precisie. Voor zwevendekommagetallen bestaat de internationale standaard IEEE 754.

Gerelateerde onderwerpen[bewerken]