Polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De figuur van y = x2 - x - 2.

In de wiskunde is een polynoom of veelterm, ook wel algebraïsche uitdrukking genoemd, in één variabele x een functie van de vorm:

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n

waarin n een natuurlijk getal is en waarbij de coëfficiënt a_n van de hoogste macht van x ongelijk aan 0 is, of de uitdrukking

0,

de zogeheten nulpolynoom.

In het eerste geval heten de getallen a_0, a_1, \ldots, a_n de coëfficiënten van de polynoom en heet n de graad van de polynoom.

Polynomen vormen een belangrijke klasse van functies met veel toepassingen. Het zijn relatief eenvoudige gladde functies, wat wil zeggen dat zij continu en willekeurig vaak differentieerbaar zijn. Het zijn ook holomorfe functies. Zij worden onder meer gebruikt als benadering voor ingewikkelder functies.

De verzameling van alle polynomen wordt genoteerd met \mathbb{P}. De verzameling van alle polynomen van graad  m \leq n , samen met de nulpolynoom, wordt genoteerd met \mathbb{P}_n. Beide verzamelingen vormen een reële vectorruimte. De coëfficiënten kunnen als coördinaten optreden. De basisvectoren zijn dan de machten van x. De ruimte \mathbb{P}_{n-1} is n-dimensionaal.

Coëfficiënten[bewerken]

Voorbeelden van oneindige verzamelingen waaruit men de coëfficiënten kan kiezen zijn de natuurlijke getallen, gehele getallen, de rationale getallen, de reële getallen en complexe getallen. We spreken dan van polynomen over \N, \Z, \mathbb{Q}, \R of \mathbb{C}. Het is ook mogelijk de coëfficiënten uit een eindig lichaam of veld te kiezen, genoteerd met \mathbb F_q of GF(q) (q, het aantal elementen in een eindig lichaam, is een priemgetal of de macht van een priemgetal).

Het is mogelijk voor de variabele een matrix te substitueren. Bij iedere matrix A hoort een karakteristieke polynoom f. Substitutie van de matrix A in f levert de nulmatrix op: f(A) = 0.

Voor het domein van polynomen wordt in het algemeen de verzameling van de reële getallen \R of de complexe getallen \mathbb{C} genomen. Voor berekeningen in de algebra is het meestal niet nodig aan te geven, over welk domein een polynoom is gedefinieerd. De verzamelingen polynomen, die bij de verschillende soorten coëfficiënten horen, vormen steeds een ring. Een ring van polynomen heet een veeltermring.

De coëfficiënten van een polynoom f zijn de symmetrische functies van die polynoom f, uitgedrukt in de nulpunten van f.

Omdat in een vierkantsvergelijking, een derdegraadsvergelijking of een vergelijking van een hogere graad een polynoom aan 0 gelijk wordt gesteld, komen de coëfficiënten van zo'n vergelijking overeen met de coëfficiënten van een polynoom.

Definities[bewerken]

De constante functie ongelijk aan 0 is een polynoom van de graad 0. Polynomen van de graad 1 heten lineair, en van de graad 2 kwadratisch. De lineaire polynomen, dat zijn de eerstegraadspolynomen, vormen functies met als grafiek een rechte lijn, de tweedegraadspolynomen vormen functies met parabolen als grafiek. De derdegraadspolynomen vormen functies met elliptische krommen als grafiek.

Wordt de polynoom p gelijk gesteld aan 0, dan ontstaat de vergelijking p(x)=0. De graad van de vergelijking is de graad van de polynoom. Een tweedegraadsvergelijking heet ook vierkantsvergelijking. Derdegraadsvergelijkingen, vierdegraadsvergelijkingen, vijfdegraadsvergelijkingen en zesdegraadsvergelijkingen hebben genoeg speciale eigenschappen om ze apart te bestuderen.

Een polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee basisbewerkingen van de rekenkunde een eindig aantal keren voorkomen: dat zijn de optelling en de vermenigvuldiging, of een uitdrukking die op die manier kan worden herschreven. We onderscheiden reële polynomen, waarin alleen reële getallen als coëfficiënt voorkomen, en complexe polynomen, met complexe coëfficiënten. Complexe coëfficiënten komen bijvoorbeeld voor bij oplossing van differentiaalvergelijkingen door Fouriertransformatie of Laplacetransformatie. Dit heeft praktische toepassingen in de elektrotechniek, regeltechniek, communicatietechniek en de kwantummechanica.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd, die zegt dat elke veelterm van de graad n over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in n lineaire factoren:

a_n (x-b_1)(x-b_2)\ldots (x-b_n).

De getallen b_k (k=0...n) staan bekend als de nulpunten van de polynoom, of als wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking (zie hierna). Men noemt het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt de multipliciteit van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als we elk nulpunt even vaak meetellen als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad.

Veeltermen over \mathbb{R} kunnen beschouwd worden als speciale gevallen van veeltermen over \mathbb{C}. Zij hebben dus eveneens n complexe nulpunten, die in bijzondere gevallen reëel zijn. Hier geldt de eigenschap dat elke reële veelterm van oneven graad ten minste één reëel nulpunt heeft, en dat de niet-reële (eigenlijke complexe) nulpunten steeds in complex toegevoegde paren voorkomen. Opmerking: er is geen algoritme die voor willekeurige veeltermen van een graad groter dan 4 een nulpunt kan vinden; de b_k bestaan dus wel, maar zijn voor veeltermen van hogere graad doorgaans niet exact te bepalen.

Een breuk van twee polynomen heet een rationale functie.

Criterium van Eisenstein[bewerken]

Het criterium van Eisenstein geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een polynoom met gehele coëfficienten irreducibel is. Een polynoom dat aan het criterium voldoet, is irreducibel over de rationale getallen en daarmee ook over de gehele getallen.

Nulpunten van een polynoom[bewerken]

Volgens de hoofdstelling van de algebra is een polynoom vastgelegd door zijn nulpunten, dat mogen complexe nulpunten zijn, en een constante:

p(x) = c (x-b_1)(x-b_2) \cdots (x-b_n),

waarin de b_k de nulpunten zijn van de polynoom.

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de polynoom gelijk aan nul te stellen, zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende x van de volgende vorm:

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0.

Hierin is elke a_k een constante die de k-de graads coëfficiënt wordt genoemd. De graad van de polynoom, dit is de grootste waarde van k waarvoor geldt dat a_k \neq 0, wordt ook de graad van de vergelijking genoemd.

Een speciaal geval vormen de polynomen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n polynoom wordt een algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is, maar wel reëel, heet een transcendent getal.

Voorbeeld[bewerken]

Neem f(x) = 5x^3-5.
De ontbinding van f is als volgt:
f(x) = 5(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right) = 5(x - 1)\left(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right).

De drie nulpunten van f zijn 1, - \tfrac12(1 + i\sqrt{3}) en - \tfrac12(1 - i\sqrt{3}).

Differentiëren[bewerken]

Differentiëren van een polynoom verlaagt de graad van de polynoom met 1. Bijvoorbeeld differentiëren van 4x3+5x2+3x+2 van de graad 3 geeft 12x2+10x+3 van de graad 2.

Deling van polynomen[bewerken]

Deling van de polynoom p door de polynoom d levert

p(x) = q(x)d(x)+r(x),

waarin de polynomen q het quotiënt en r de rest voorstellen.

De daadwerkelijke deling van een polynoom door een andere polynoom van lagere, of eventueel gelijke graad, kan door staartdelen.

Als n de graad van p is en m de graad van d, geldt dat de graad van q gelijk is aan n-m en de graad van r ten hoogste gelijk is aan m-1. In het geval dat r(x)=0, gaat de de deling precies op, en is p het product van q en d. Voor de graden geldt n=m+k, met k de graad van q.

Voorbeeld[bewerken]

x+1 / 4x3+5x2+3x+2 \ 4x2+x+2
      4x3+4x2
      -------
           x2+3x+2
           x2+ x 
           -------
              2x+2
              2x+2
              ----
                 0

Dus is 4x3+5x2+3x+2 = (4x2+x+2)(x+1).

Toelichting

Voor de / staat de deler, tussen de / en de \ staat het deeltal; steeds wordt de hoogste macht van x aangepakt; de eerste keer wordt de term met 4x3 verwerkt door x+1 te vermenigvuldigen met 4x2; het product wordt afgetrokken van het deeltal, en de 4x2 achter de \ geschreven; deze tweedegraads term vormt het begin van het quotiënt; in de navolgende stappen wordt steeds het restant (in de staart) verder afgebroken door op overeenkomstige wijze de term met de hoogste graad te verwijderen. Zodra de graad van het restant kleiner is dan die van de deler stopt men met de berekening. Het quotiënt staat nu achter de \ en de rest onderaan de staart. De werkwijze komt precies overeen met die bij staartdeling van getallen; in wezen vormt deze vorm een generalisatie: invullen van 10 voor de x en beperking tot veeltermen waarin geen minteken voorkomt levert de uit de rekenkunde bekende staartdeling.

Rest- en factorstelling[bewerken]

Men kan eenvoudig controleren of een polynoom p(x) een factor x-b bezit, substitueer b in p(x), dan moet gelden p(b)=0. De factorstelling zegt dat het hetzelfde is dat b een nulpunt van p(x) is en dat x-b een factor van p(x) is.

In het algemeen kan een polynoom p(x) door een andere polynoom d(x) worden gedeeld, waarvan de graad lager is dan die van p of door een lineaire factor x-b. De rest r(x) bij deling is een nieuwe polynoom of 0 wanneer p(x) precies door d(x) is te delen. Met x-b geeft dit, bij substitueren van x=b in p(x)=q(x)d(x)+r(x) de vergelijking p(b)=r(b). We vinden de rest na deling door x-b dus door in p(x) de x door b te vervangen, dit heet de reststelling. Op deze reststelling zijn overigens in het tientallige stelsel de negenproef en de elfproef gebaseerd.

Zo blijkt x+1 een factor van 4x^3 + 5x^2 + 3x + 2 te zijn.

Invullen van -1 voor x geeft 4(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -4+5-3+2 = 0.

In het tientallig stelsel komt dit overeen met de elfproef: modulo 11 is 10 congruent met -1; dit wordt gebruikt om aan te tonen dat modulo 11 het getal 4532 congruent is met 0, en dus deelbaar is door 11.

Hornerschema[bewerken]

Het Hornerschema is een algoritme om efficiënt een veelterm in een punt x0 te evalueren of om een polynoom snel te delen door een lineaire polynoom.

Karakteristieke polynoom[bewerken]

De karakteristieke polynoom P_A van een vierkante nxn-matrix A is

P_A(\lambda)  = \mbox{Det}(A - \lambda I_n)

Waarin

De nulpunten van de karakteristieke polynoom zijn de eigenwaarden van de matrix. Dit vindt toepassingen in de sterkteleer, de kwantummechanica, trillingen, de akoestica enz.

Domein van de coëfficiënten[bewerken]

Een polynoom is volledig bepaald door z'n coëfficiënten. Als het niet om de corresponderende functie gaat, is niet aan de orde welke waarden x kan aannemen; de polynomen corresponderen een-op-een met eindige rijen getallen (de coëfficiënten). Dan bestaat de rol van de variabele x er slechts in de notatie als som van gewogen machten van x mogelijk te maken, en zo op natuurlijke wijze de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van de polynomen in te voeren. Vooral voor het vermenigvuldigen is deze notatie handig, men hoeft niet een speciale regel voor het vermenigvuldigen van eindige rijen getallen toe te passen.

Er zijn ook polynomen met andere coëfficiënten dan reële getallen, of met coëfficiënten die beperkt zijn tot een deel van de reële getallen. Als de verzameling waaruit de coëfficiënten worden gekozen een commutatieve ring is, vormen de polynomen ook een commutatieve ring.

Bij een gegeven commutatieve ring kan men de coëfficiënten kiezen uit een deelring (eventueel de ring zelf) en als domein van de polynomiale functies een deelverzameling van de ring (eventueel weer de ring zelf) nemen. De afbeelding die aan een polynoom de bijbehorende polynomiale functie toevoegt, is dan lineair. De afbeelding is dan en slechts dan injectief, als alleen de polynoom die identiek nul is, een functie oplevert die de nulfunctie is (een functie die bij ieder argument uit het domein de waarde 0 oplevert). Dit is niet het geval als het domein van de polynomiale functies eindig is en een deelverzameling van de deelring, men kan dan eenvoudig een polynoom construeren die niet identiek nul is, maar waarbij wel de erdoor vastgelegde functie bij elk argument nul oplevert (nulfunctie). Er zijn dan bij een polynomiale functie (wat trouwens iedere functie dan is) oneindig veel corresponderende polynomen.

Dit onderstreept de verschillen tussen een polynoom als uitdrukking en een polynoom als functie. Let wel, als het domein een oneindige verzameling is, is er wel een een-op-een correspondentie tussen de uitdrukkingen en de functies.

Polynoom versus polynomiale functie[bewerken]

Een voorbeeld van het onderscheid tussen polynoom en bijbehorende polynomiale functie is het volgende. Beschouw polynomen met coëfficiënten uit het eindige lichaam \mathrm{GF}(5), dit is de verzameling \{0, 1, 2, 3, 4\} waarbij optellen en vermenigvuldigen plaatsvindt modulo 5.

Zowel g(x)=x^6 + 3x + 3 als h(x)=3x^5 + x^2 + 3 zijn polynomen over \mathrm{GF}(5). Het zijn duidelijk twee verschillende polynomen. Als (polynomiale) functies met als domein en bereik \mathrm{GF}(5) zijn ze echter aan elkaar identiek, want voor iedere x uit \{0, 1, 2, 3, 4\} geldt rekenend modulo 5 dat g(x) = h(x).

Twee van elkaar verschillende polynomen kunnen dus eenzelfde bijbehorende polynomiale functie hebben.

Veeltermen in meer variabelen[bewerken]

Er zijn ook veeltermen in meer dan één variabele. Een veelterm in m variabelen (x1 tot xm) van de orde n, is dan een uitdrukking van de volgende vorm (of daartoe herleidbaar):

a_0 + \sum_{1\leq k \leq m} a_{1,k} x_k + \sum_{1 \leq k_1 \leq k_2 \leq m}a_{2,k_1,k_2} x_{k_1} x_{k_2} + ... + \sum_{1 \leq k_1 \leq ... \leq k_n \leq m} a_{n,k_1,...,k_n} x_{k_1}\cdots x_{k_n},

waarin ten minste een van de coëfficiënten a_{n,k_1,...,k_n} ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als:

\sum_{m_1,\dots ,m_n}  a_{m_1,\dots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n},

waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht m_i heet de graad van de variabele x_i. Het getal m_1+\dots +m_n heet de graad van de term a_{m_1,\dots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}. Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom.

Voorbeelden[bewerken]

De volgende veelterm in 3 variabelen x,y en z is van de orde 4 (voor het gemak zijn alle coëfficiënten geheeltallig gekozen, en de termen zijn in volgorde van opklimmende orde (of graad) neergeschreven):

\!\,4 + x - 2y + 7z + x^2 + 3y^2 - 13xz - yz - y^3 + 8z^3 + 2x^2y - x^2z + 8y^2z + xyz +11x^4 - xyz^2.

Curiosum[bewerken]

De volgende veelterm in de 26 variabelen a t/m z over de natuurlijke getallen met graad 25 van James Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada en Douglas Wiens, gevonden in 1976, neemt, naast negatieve waarden, alleen alle priemgetallen als positieve waarden aan:[1][2][3]


(k + 2)\Big[1 -
 
(wz + h + j - q)^2 -
 
\{(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z\}^2 -
 
(2n + p + q + z - e)^2 -
 
\{16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2\}^2 -
  
\{e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2\}^2 -
 
\{16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2\}^2 -
  
\{([a + u^2(u^2 - a)]^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2\}^2 -
 
(n + l + v - y)^2 -
 
(ai + k + 1 - l - i)^2 -
 
\{(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2\}^2 -
 
\{(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2\}^2 -
 
\{p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m\}^2 -
 
\{q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x\}^2 -
  
\{z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm\}^2\Big]

Eerder hadden Martin Davies, Joeri Matijasevitsj, Hilary Putnam en Julia Robinson het bestaan bewezen van een dergelijke veelterm. Dit is opmerkelijk omdat polynomen over de natuurlijke getallen die slechts priemgetallen als waarden aannemen graad nul moeten hebben (een constante).

De veelterm levert alleen een positieve uitkomst als alle termen vanaf de tweede in de tweede factor gelijk zijn aan 0. De uitkomst is dan gelijk aan de eerste factor k+2. Voor deze veelterm is bewezen dat alle termen vanaf de tweede alleen gelijk zijn aan 0 voor waarden van k waarvoor k+2 een priemgetal is, en dat alle priemgetallen worden voortgebracht door deze polynoom.

Speciale polynomen[bewerken]

Enkele speciale typen polynomen hebben een eigen naam, waaronder:


Toepassingen[bewerken]

Polynomen worden veel toegepast in algoritmen, onder andere in Savitsky-Golay filters.

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Keith Devlin, Micro-Maths MacMillan 1984 p. 21 ISBN 0-333-39007-5
  2. James Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada & Douglas Wiens (1976) "Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers" American Mathematical Monthly 83: 449-464, PDF.
  3. (en) MathWorld. "Prime-Generating Polynomial".