Polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De figuur van y = x2 - x - 2.

In de wiskunde is een polynoom of veelterm, ook wel algebraïsche uitdrukking genoemd, in één variabele x een uitdrukking van de vorm:

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n

waarin n een natuurlijk getal is en waarbij de coëfficiënt a_n van de hoogste macht van x ongelijk aan 0 is.

De bovengenoemde uitdrukking waarin alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0, die dus gelijk is aan 0, heet de nulpolynoom.

De getallen a_0, a_1, \ldots, a_n heten de coëfficiënten van de polynoom en het getal n heet de graad van de polynoom.

Polynomiale functies, d.w.z. polynomen opgevat als functie, vormen een belangrijke klasse van functies met veel toepassingen. Het zijn relatief eenvoudige gladde functies, wat wil zeggen dat zij continu en willekeurig vaak differentieerbaar zijn. Zij worden onder meer gebruikt als benadering voor ingewikkelder functies.

De verzameling van alle polynomen wordt genoteerd met \mathbb{P}. De verzameling van alle polynomen van graad  m \leq n , samen met de nulpolynoom, wordt genoteerd met \mathbb{P}_n. Beide verzamelingen vormen een reële vectorruimte. De coëfficiënten kunnen als coördinaten optreden. De basisvectoren zijn dan de machten van x. De ruimte \mathbb{P}_{n-1} is n-dimensionaal.

Coëfficiënten[bewerken]

Voorbeelden van oneindige verzamelingen waaruit men de coëfficiënten kan kiezen zijn de natuurlijke getallen, gehele getallen, de rationale getallen, de reële getallen en complexe getallen. We spreken dan van polynomen over \N, \Z, \mathbb{Q}, \R of \mathbb{C}. Wanneer de coëfficiënten van een polynoom f uit één van deze verzamelingen worden gekozen en de variable x uit \mathbb{C}, heet f een holomorfe functie.

Het is ook mogelijk de coëfficiënten en de variabele uit een eindig lichaam of veld te kiezen, genoteerd met \mathbb F_q of GF(q). q, het aantal elementen in het eindig lichaam, is een priemgetal of de macht van een priemgetal.

Voor het domein van polynomen wordt in het algemeen de verzameling van de reële getallen \R of de complexe getallen \mathbb{C} genomen. Voor berekeningen in de algebra is het meestal niet nodig aan te geven, over welk domein een polynoom is gedefinieerd. De verzamelingen polynomen die bij de verschillende soorten coëfficiënten horen, vormt steeds een ring. Een ring van polynomen heet een veeltermring.

De coëfficiënten van een polynoom f zijn de symmetrische functies van die polynoom f, uitgedrukt in de nulpunten van f.

Definities[bewerken]

De constante functie ongelijk aan 0 is een polynoom van de graad 0. Polynomen van de graad 1 heten lineair, en van de graad 2 kwadratisch. De lineaire polynomen, dat zijn de eerstegraadspolynomen, vormen functies met als grafiek een rechte lijn, de tweedegraadspolynomen vormen functies met parabolen als grafiek. De derdegraadspolynomen vormen functies met elliptische krommen als grafiek.

Wordt de polynoom p gelijk gesteld aan 0, dan ontstaat de vergelijking p(x)=0. De graad van de vergelijking is de graad van de polynoom. Een tweedegraadsvergelijking heet ook vierkantsvergelijking. Derdegraadsvergelijkingen, vierdegraadsvergelijkingen, vijfdegraadsvergelijkingen en zesdegraadsvergelijkingen hebben genoeg speciale eigenschappen om ze apart te bestuderen.

Een polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee basisbewerkingen van de rekenkunde een eindig aantal keren voorkomen: dat zijn de optelling en de vermenigvuldiging, of een uitdrukking die op die manier kan worden herschreven. Men onderscheidt reële polynomen, waarin alleen reële getallen als coëfficiënt voorkomen, en complexe polynomen, met complexe coëfficiënten.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd, die zegt dat elke veelterm van de graad n over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in n lineaire factoren:

a_n (x-b_1)(x-b_2)\ldots (x-b_n).

De getallen b_k (k=0...n) staan bekend als de nulpunten van de polynoom, of als wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking. Men noemt het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt de multipliciteit van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als we elk nulpunt even vaak meetellen als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad.

Voor reële polynomen geldt net als voor complexe polynomen dat zij n complexe nulpunten hebben. Iedere reële polynoom van oneven graad heeft ten minste één reëel nulpunt en de niet-reële, de complexe nulpunten komen steeds in complex toegevoegde paren voor. Er is geen algoritme dat voor willekeurige polynomen van een graad groter dan 4 de nulpunten met de wortels uit getallen kan schrijven.

Een breuk van twee polynomen heet een rationale functie.

Criterium van Eisenstein[bewerken]

Het criterium van Eisenstein geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een polynoom met gehele coëfficienten irreducibel is. Een polynoom die aan het criterium voldoet, is irreducibel over de rationale getallen, en daarmee ook over de gehele getallen.

Nulpunten van een polynoom[bewerken]

Volgens de hoofdstelling van de algebra is een polynoom vastgelegd door zijn nulpunten, dat mogen complexe nulpunten zijn, en een constante:

p(x) = c (x-b_1)(x-b_2) \ldots (x-b_n),

waarin de b_k de nulpunten zijn van de polynoom.

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de polynoom gelijk aan nul te stellen. Zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende x van de volgende vorm:

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0.

Hierin is elke a_k een constante die de k-de graads coëfficiënt wordt genoemd. De graad van de polynoom, dit is de grootste waarde van k waarvoor geldt dat a_k \neq 0, wordt ook de graad van de vergelijking genoemd.

Een speciaal geval vormen de polynomen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n polynoom wordt een algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is, maar wel reëel, heet een transcendent getal.

Voorbeeld[bewerken]

Neem f(x) = 5x^3-5.
De ontbinding van f is als volgt:
f(x) = 5(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right) = 5(x - 1)\left(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right).

De drie nulpunten van f zijn 1, - \tfrac12(1 + i\sqrt{3}) en - \tfrac12(1 - i\sqrt{3}).

Differentiëren[bewerken]

Differentiëren van een polynoom verlaagt de graad van de polynoom met 1. Bijvoorbeeld differentiëren van 4x3+5x2+3x+2 van de graad 3 geeft 12x2+10x+3 van de graad 2.

Deling van polynomen[bewerken]

In het algemeen kan een polynoom p(x) gedeeld worden door een polynoom d(x) waarvan de graad lager is dan die van p. De rest bij deling is een polynoom r(x), of 0 wanneer p(x) precies door d(x) is te delen. Algemeen geldt:

p(x) = q(x)d(x)+r(x),

waarin de polynoom q(x) het quotiënt(polynoom) heet.

De daadwerkelijke deling van een polynoom door een andere polynoom van lagere, of eventueel gelijke graad, kan door staartdelen.

Als n de graad van p is en m de graad van d, geldt dat de graad van q gelijk is aan n-m en de graad van r ten hoogste gelijk is aan m-1. In het geval dat r(x)=0, gaat de de deling precies op, en is p het product van q en d. Voor de graden geldt n=m+k, met k de graad van q.

Voorbeeld[bewerken]

x+1 / 4x3+5x2+3x+2 \ 4x2+x+2
      4x3+4x2
      -------
           x2+3x+2
           x2+ x 
           -------
              2x+2
              2x+2
              ----
                 0

Dus is 4x3+5x2+3x+2 = (4x2+x+2)(x+1).

Factor- en reststelling[bewerken]

Men kan eenvoudig controleren of een polynoom p(x) een factor x-b bezit, substitueer b in p(x), dan moet gelden p(b)=0. De factorstelling zegt dat het hetzelfde is dat b een nulpunt van p(x) is en dat x-b een factor van p(x) is. Bij substitueren van x=b in p(x)=q(x)d(x)+r(x) geeft dit de vergelijking p(b)=r(b). We vinden de rest na deling door x-b dus door in p(x) de x door b te vervangen, dit heet de reststelling. Op deze reststelling zijn overigens in het tientallige stelsel de negenproef en de elfproef gebaseerd.

Zo blijkt x+1 een factor van 4x^3 + 5x^2 + 3x + 2 te zijn.

Invullen van -1 voor x geeft 4(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -4+5-3+2 = 0.

In het tientallig stelsel komt dit overeen met de elfproef: modulo 11 is 10 congruent met -1; dit wordt gebruikt om aan te tonen dat modulo 11 het getal 4532 congruent is met 0, en dus deelbaar is door 11.

Hornerschema[bewerken]

Het Hornerschema is een algoritme om efficiënt een veelterm in een punt x0 te evalueren of om een polynoom snel te delen door een lineaire polynoom.

Karakteristieke polynoom[bewerken]

Het is mogelijk voor de variabele een matrix te substitueren. Bij iedere matrix A hoort een karakteristieke polynoom f. Substitutie van de matrix A in f levert de nulmatrix op: f(A) = 0.

Het karakteristieke polynoom P_A van een vierkante nxn-matrix A is

P_A(\lambda)  = \mbox{Det}(A - \lambda I_n)

Waarin

De nulpunten van de karakteristieke polynoom zijn de eigenwaarden van de matrix. Dit vindt toepassingen in de sterkteleer, de kwantummechanica, trillingen, de akoestiek enz.

Domein van de coëfficiënten[bewerken]

Een polynoom is volledig bepaald door z'n coëfficiënten. Als het niet om de corresponderende functie gaat, is niet aan de orde welke waarden x kan aannemen; de polynomen corresponderen een-op-een met eindige rijen getallen (de coëfficiënten). Dan bestaat de rol van de variabele x er slechts in de notatie als som van gewogen machten van x mogelijk te maken, en zo op natuurlijke wijze de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van de polynomen in te voeren. Vooral voor het vermenigvuldigen is deze notatie handig, men hoeft niet een speciale regel voor het vermenigvuldigen van eindige rijen getallen toe te passen.

Er zijn ook polynomen met andere coëfficiënten dan reële getallen, of met coëfficiënten die beperkt zijn tot een deel van de reële getallen. Als de verzameling waaruit de coëfficiënten worden gekozen een commutatieve ring is, vormen de polynomen ook een commutatieve ring.

Bij een gegeven commutatieve ring kan men de coëfficiënten kiezen uit een deelring (eventueel de ring zelf) en als domein van de polynomiale functies een deelverzameling van de ring (eventueel weer de ring zelf) nemen. De afbeelding die aan een polynoom de bijbehorende polynomiale functie toevoegt, is dan lineair. De afbeelding is dan en slechts dan injectief, als alleen de polynoom die identiek nul is, een functie oplevert die de nulfunctie is (een functie die bij ieder argument uit het domein de waarde 0 oplevert). Dit is niet het geval als het domein van de polynomiale functies eindig is en een deelverzameling van de deelring, men kan dan eenvoudig een polynoom construeren die niet identiek nul is, maar waarbij wel de erdoor vastgelegde functie bij elk argument nul oplevert (nulfunctie). Er zijn dan bij een polynomiale functie (wat trouwens iedere functie dan is) oneindig veel corresponderende polynomen.

Dit onderstreept de verschillen tussen een polynoom als uitdrukking en een polynoom als functie. Let wel, als het domein een oneindige verzameling is, is er wel een een-op-een correspondentie tussen de uitdrukkingen en de functies.

Polynoom versus polynomiale functie[bewerken]

Een voorbeeld van het onderscheid tussen polynoom en bijbehorende polynomiale functie is het volgende. Beschouw polynomen met coëfficiënten uit het eindige lichaam \mathrm{GF}(5), dit is de verzameling \{0, 1, 2, 3, 4\} waarbij optellen en vermenigvuldigen plaatsvindt modulo 5.

Zowel g(x)=x^6 + 3x + 3 als h(x)=3x^5 + x^2 + 3 zijn polynomen over \mathrm{GF}(5). Het zijn duidelijk twee verschillende polynomen. Als (polynomiale) functies met als domein en bereik \mathrm{GF}(5) zijn ze echter aan elkaar identiek, want voor iedere x uit \{0, 1, 2, 3, 4\} geldt rekenend modulo 5 dat g(x) = h(x).

Twee van elkaar verschillende polynomen kunnen dus eenzelfde bijbehorende polynomiale functie hebben.

Veeltermen in meer variabelen[bewerken]

Er zijn ook veeltermen in meer dan één variabele. Een veelterm in m variabelen (x1 tot xm) van de orde n, is dan een uitdrukking van de volgende vorm (of daartoe herleidbaar):

a_0 + \sum_{1\leq k \leq m} a_{1,k} x_k + \sum_{1 \leq k_1 \leq k_2 \leq m}a_{2,k_1,k_2} x_{k_1} x_{k_2} + ... + \sum_{1 \leq k_1 \leq ... \leq k_n \leq m} a_{n,k_1,...,k_n} x_{k_1}\cdots x_{k_n},

waarin ten minste een van de coëfficiënten a_{n,k_1,...,k_n} ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als:

\sum_{m_1,\dots ,m_n}  a_{m_1,\dots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n},

waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht m_i heet de graad van de variabele x_i. Het getal m_1+\dots +m_n heet de graad van de term a_{m_1,\dots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}. Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom.

Voorbeelden[bewerken]

De volgende veelterm in 3 variabelen x,y en z is van de orde 4 (voor het gemak zijn alle coëfficiënten geheeltallig gekozen, en de termen zijn in volgorde van opklimmende orde (of graad) neergeschreven):

\!\,4 + x - 2y + 7z + x^2 + 3y^2 - 13xz - yz - y^3 + 8z^3 + 2x^2y - x^2z + 8y^2z + xyz +11x^4 - xyz^2.

Curiosum[bewerken]

De volgende veelterm in de 26 variabelen a t/m z over de natuurlijke getallen met graad 25 van James Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada en Douglas Wiens, gevonden in 1976, neemt, naast negatieve waarden, alleen alle priemgetallen als positieve waarden aan:[1][2][3]


(k + 2)\Big[1 -
 
(wz + h + j - q)^2 -
 
\{(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z\}^2 -
 
(2n + p + q + z - e)^2 -
 
\{16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2\}^2 -
  
\{e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2\}^2 -
 
\{16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2\}^2 -
  
\{([a + u^2(u^2 - a)]^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2\}^2 -
 
(n + l + v - y)^2 -
 
(ai + k + 1 - l - i)^2 -
 
\{(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2\}^2 -
 
\{(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2\}^2 -
 
\{p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m\}^2 -
 
\{q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x\}^2 -
  
\{z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm\}^2\Big]

Eerder hadden Martin Davies, Joeri Matijasevitsj, Hilary Putnam en Julia Robinson het bestaan bewezen van een dergelijke veelterm. Dit is opmerkelijk omdat polynomen over de natuurlijke getallen die slechts priemgetallen als waarden aannemen, de graad nul moeten hebben (een constante).

De veelterm levert alleen een positieve uitkomst, als alle termen vanaf de tweede in de tweede factor gelijk zijn aan 0. De uitkomst is dan gelijk aan de eerste factor k+2. Voor deze veelterm is bewezen dat alle termen vanaf de tweede alleen gelijk zijn aan 0 voor waarden van k waarvoor k+2 een priemgetal is, en dat alle priemgetallen worden voortgebracht door deze polynoom.

Speciale polynomen[bewerken]

Enkele speciale typen polynomen hebben een eigen naam, waaronder:


Toepassingen[bewerken]

Polynomen worden veel toegepast in algoritmen, onder andere in Savitsky-Golay filters.

Polynomen met complexe coëfficiënten komen bijvoorbeeld voor bij de oplossing van differentiaalvergelijkingen door Fouriertransformatie of Laplacetransformatie. Dit heeft praktische toepassingen in de elektrotechniek, regeltechniek, communicatietechniek en de kwantummechanica.

Externe links[bewerken]