Wortel (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde wordt met de wortel zowel de wortel van een getal als van een vergelijking aangeduid.

Wortel uit een getal[bewerken | brontekst bewerken]

Vierkantswortel[bewerken | brontekst bewerken]

De vierkantswortel, kort wortel, uit een positief getal is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het getal . Het symbool hiervoor is √. Het proces om een wortel te berekenen heet worteltrekken. Het is dus een rekenkundige bewerking van een getal.

is te vereenvoudigen tot . Wortel 2, genoteerd als , wortel 3 als en wortel 5 als zijn niet verder te vereenvoudigen. Het is te bewijzen, dat wortel 2 geen rationaal getal is, dus niet als breuk is te schrijven.

Hogere-machtswortels[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn ook wortels van een hogere macht uit een getal gedefinieerd. Een -de-machtswortel uit een getal is een getal zo, dat

Voor de derdemachtswortel uit een getal , is bijvoorbeeld .

Als even is spreekt men van een evenmachtswortel, is oneven dan spreekt men van een onevenmachtswortel. Positieve reële getallen hebben twee tegengestelde evenmachtswortels en juist één positieve onevenmachtswortel. Negatieve reële getallen hebben geen (reële) evenmachtswortel en juist één onevenmachtswortel, die negatief is. Men kan ook volgende notatie gebruiken voor de positieve -de-machtswortel van een positief getal of voor de onevenmachtswortel van een negatief getal :

.

Dan is

.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

De positieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is 5, want 5 > 0 en 52 = 25, dit wordt genoteerd als .

De negatieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is −5, want −5 < 0 en (−5)2 = 25, dit wordt genoteerd als .

De positieve 4e-machtswortel van 16 is 2, want 2 > 0 en 24 = 16. Dit wordt genoteerd als .

De 3e-machtswortel van −8 is −2, want (−2)3 = −8. Dit wordt genoteerd als .

Breuken als exponent[bewerken | brontekst bewerken]

Wortelvormen kunnen genoteerd worden door middel van gebroken exponenten op voorwaarde dat het grondtal positief is.

en algemener ():

Dan geldt:

Eigenschap[bewerken | brontekst bewerken]

Voor alle -de-machtswortels geldt:

Immers:

Wortel van een vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

Een wortel van een vergelijking, waarin een functie gelijk aan 0 wordt gesteld, is hetzelfde als een nulpunt van die functie. Een wortel van een vergelijking is dus een waarde voor de onbekende, zodat de vergelijking een gelijkheid wordt. Het is dus een oplossing van de vergelijking.

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft een polynoom van de -de graad wortels in de complexe getallen. Zo heeft de vergelijking de wortels +5 en −5. Wel kunnen sommige van die wortels meervoudig zijn. Zo lijkt de vergelijking slechts de wortels +1 en −1 te hebben, maar de vergelijking kan geschreven worden als , waaruit blijkt dat de wortel −1 gezien kan worden als twee wortels met dezelfde waarde.

De wortels van de vergelijking zijn en .

De wortels van een vierkantsvergelijking kunnen met de wortelformule worden bepaald of in duidelijker gevallen met de som-product-methode.

Wortelvrij maken van de noemer van een breuk[bewerken | brontekst bewerken]

Om wortelvormen weg te werken uit de noemer van een breuk, kunnen volgende formules nuttig zijn.

Complexe wortels[bewerken | brontekst bewerken]

de wortelknop op een rekenmachine

Met behulp van de opvatting van worteltrekken als machtsverheffen kunnen ook wortels uit complexe getallen gedefinieerd worden.

Algemeen geldt voor twee complexe getallen en :

Daarmee laat zich de -de-machtswortel van definiëren door:

.

De wortel is op deze wijze dubbelzinnig bepaald. Er zijn in het algemeen -de-machtswortels van de vorm:

voor .

Neemt men echter de hoofdwaarde van de logaritme, dan is de wortel niet dubbelzinnig bepaald.

Voor de zo eenduidig bepaalde complexe wortels geldt niet meer algemeen de eigenschap:

Het volgende tegenvoorbeeld laat dit zien:

,

terwijl

In het algemeen geldt voor complexe getallen en en de met de hoofdwaarde bepaalde wortel:

.

Anderzijds is:

.

Hierin stelt log de hoofdwaarde van de logaritme voor. Omdat niet noodzakelijk geldt dat , is de genoemde eigenschap niet geldig voor willekeurige complexe getallen.

Op dezelfde manier kunnen ook wortels uit een quaternion gedefinieerd worden. De verzameling van de -de-machtswortels van is:

waarbij een willekeurig geheel getal voorstelt en een willekeurige wortel van −1 is, dus zodanig dat . Er hoeft dus niet langer te gelden dat . Meer bepaald geldt nu: .

Herkomst √-teken[bewerken | brontekst bewerken]

Leonhard Euler dacht dat het teken ontstaan was uit de r van radix, wortel. Later wees Duits onderzoek uit dat het wortelteken in Duitse handschriften rond 1500 is afgeleid uit een punt met een haal omhoog.[1] Het teken verscheen het eerst in druk voor een vierkantswortel in 1525 in Die Coss van de Duitse wiskundige Christoph Rudolff, waar ook de tekens '+' en '−' in druk opdoken.[2]