Kwadraat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ieder kwadraat is grafisch als een vierkant weer te gegeven.

Het kwadraat (van Latijn: quadratus, vierkant) van een getal is een andere benaming voor de tweede macht van een getal. Het kwadraat wordt verkregen door het getal met zichzelf te vermenigvuldigen:

Het kwadraat van een reëel getal is niet negatief:

Dit geldt niet algemeen: van bijvoorbeeld het complexe getal is het kwadraat:

De kwadraten van de natuurlijke getallen noemt men kwadraatgetallen:

Het verband met het begrip vierkant wordt duidelijk als men bedenkt dat de oppervlakte van een vierkant gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de zijden.

De inverse van het kwadraat van niet-negatieve getallen is de vierkantswortel.

Voorbeelden[bewerken]

1² = 1 × 1 = 1
3² = 3 × 3 = 9
12² = 12 × 12 = 144
(−3)² = (−3) × (−3) = 9

Merkwaardige producten[bewerken]

Een aantal merkwaardige producten bestaat uit kwadraten:

Som van opvolgende oneven getallen[bewerken]

De som van opvolgende oneven getallen levert de kwadraten:

Er geldt:

, voor .

De gelijkheid kan onder meer met behulp van volledige inductie worden bewezen.

Uitgeschreven staat er:

  • 1² = 1
  • 2² = 1 + 3
  • 3² = 1 + 3 + 5
  • 4² = 1 + 3 + 5 + 7
  • 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
  • 6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
  • 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
  • enz.

De oplopende verschillen doorlopen alle oneven getallen, voor bijvoorbeeld: