Inverse

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde wordt met de term inverse een aantal verwante begrippen aangeduid, zoals inverse bewerking, inverse van een getal of variabele ten opzichte van een bepaalde operatie en daarmee samenhangend de inverse van een element van een groep, de inverse van een functie of afbeelding, en daaruit voortvloeiend de inverse van een matrix.

Inverse bewerking[bewerken]

Onder de inverse bewerking van een (rekenkundige) operatie verstaan we een bewerking die in bepaalde zin het omgekeerde bereikt. Zo is aftrekken de inverse of tegengestelde operatie van optellen, delen is de inverse operatie van vermenigvuldigen. Met machtsverheffen zijn er twee mogelijkheden. Als de variabele het grondtal is, bijvoorbeeld in is worteltrekken de inverse bewerking van machtsverheffen. Als in de exponent staat, bijvoorbeeld in is de logaritme de inverse van machtsverheffen.

Inverse van een getal of variabele[bewerken]

Vermenigvuldigen we een getal eerst met 3 en daarna met 1/3 dan is het eindresultaat het oorspronkelijke getal. De getallen 3 en 1/3 leveren immers als product het getal 1 op, dat voor de vermenigvuldiging het neutrale element is. Zij heten daarom elkaars inverse ten opzichte van de bewerking vermenigvuldigen. Zo heeft elk getal of variabele mits ongelijk 0, met betrekking tot de vermenigvuldiging een inverse

Algemeen verstaat men onder de inverse van een variabele ten opzichte van een bepaalde binaire bewerking het getal waarvoor het resultaat van de bewerking toegepast op en dat getal het neutrale element van die bewerking oplevert.

Bij het rekenen modulo een getal is de vermenigvuldigingsinverse van het getal bepaald door:

Als bijvoorbeeld gelijk is aan 29, kunnen van de getallen 1 tot en met 28 de inversen berekend worden. Zo is 25 de inverse van 7, want

Om de vermenigvuldigingsinverse te bepalen wordt het euclidisch algoritme gebruikt.

Inverse van een functie of afbeelding[bewerken]

Zoals in het artikel functie uiteengezet, kan men bij een bijectieve afbeelding een inverse afbeelding definiëren, die als het ware het omgekeerde van bewerkstelligt. Past men eerst toe op en vervolgens op het resultaat de inverse afbeelding dan is het resultaat weer gelijk aan in formulevorm

Aan de hand van een voorbeeld zien we hoe van een functie de inverse bepaald kan worden. Zij:

Dit is een bijectieve functie, waarvan dus de inverse bestaat. De inverse functie voegt aan een beeld het origineel toe:

.

Door het oplossen van uit de vergelijking:

,

volgt

Dus voor is:

Andere voorbeelden[bewerken]


  • Voor een oneven natuurlijk getal n geldt


Inverse transformatie[bewerken]

Ook bij transformaties is er sprake van inverse transformaties. Een transformatie is een (partiële) functie van een verzameling naar zichzelf. Zo zijn "Verdubbeling" en "Halvering" transformaties van de verzameling van de reële getallen. De ene transformatie is de inverse van de andere.

Onder een functietransformatie verstaan we een bewerking die een functie via een bepaald voorschrift afbeeldt op een andere functie.

Een voorbeeld van een inverse functietransformatie is de inverse Laplacetransformatie.

Inverse van een matrix[bewerken]

De inverse matrix (zie aldaar) van een vierkante inverteerbare matrix is de inverse ten opzichte van de bewerking matrixvermenigvuldiging. Omdat matrixvermenigvuldiging overeenkomt met na elkaar toepassen van de bijbehorende (lineaire) afbeeldingen, is de inverse van een matrix ook de matrix van de inverse afbeelding.

Inverse van een partiële orde[bewerken]

De inverse van een partiële orde wordt verkregen door de beide operanden te verwisselen.