Logaritme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De logaritme van een getal is de exponent waartoe een vaste afgesproken waarde – het grondtal – moet worden verheven om dat eerste getal als resultaat te verkrijgen. Voor grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, en wel omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Meer in het algemeen geldt dat als , het getal de logaritme van is voor het grondtal . Dit wordt geschreven als . Zo is bijvoorbeeld .

Grafiek van de wiskundige functies ln(x) en log10(x)
Beide functies hebben aan de linkerzijde van de grafiek als verticale asymptoot de lijn .

Definitie[bewerken]

De logaritme voor het grondtal van een getal is de macht waartoe men het grondtal moet verheffen om als uitkomst te krijgen, dus:

.

Zowel het grondtal als het argument moeten groter zijn dan 0; bovendien mag niet gelijk zijn aan 1.

De logaritme van 0 met welk grondtal dan ook is niet gedefinieerd, omdat er geen macht bestaat met welk grondtal dan ook welke resulteert in nul. Daarom heeft elke grafiek van de logaritme geen beeld in nul. Er is steeds een verticale asymptoot bij .

Notatie[bewerken]

De logaritme is een wiskundige functie die wordt genoteerd als log met het grondtal als subscript: , of als vooraangeplaatst superscript: .

Als duidelijk is welk grondtal gebruikt wordt, laat men dit vaak weg en schrijft men gewoonweg . Bij een -tallig talstelsel wordt de logaritme dan eenvoudig genoteerd als zonder expliciete vermelding van het grondtal. Zo wordt in het normale tientallige stelsel genoteerd, waar bedoeld wordt.

Grondtal[bewerken]

Voor de logaritmefunctie (en haar inverse) is een vast grondtal vereist. Elk getal groter dan 1 is hiervoor geschikt — en bij uitbreiding ook elk getal tussen 0 en 1. Maar vooral de volgende drie grondtallen worden in logaritmen veel gebruikt:

  • Logaritmen met grondtal 10. Men spreekt van de Briggse logaritme en noteert deze als 10log, log of log10. Bijvoorbeeld:
  • Logaritmen met grondtal e = 2,718281828... . Men spreekt van natuurlijke logaritme, of Neperiaanse of Neperse logaritme, naar de uitvinder John Napier. De natuurlijke logaritme wordt vaak genoteerd als ln, maar men schrijft ook wel log in vakgebieden waarbij het vanzelfsprekend is dat de natuurlijke logaritme wordt bedoeld. Bijvoorbeeld:
  • Logaritmen met grondtal 2. Dit type logaritmen komt voor in onder andere de informatica en vooral de Informatietheorie. Deze logaritme wordt vaak genoteerd als log2 of 2log, lb of kortweg log als dit gezien de context vanzelfsprekend is. Bijvoorbeeld:

Inverse[bewerken]

De logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie.

Gevolg: machtsverheffen en dan logaritme nemen - beide met zelfde grondtal - heeft geen effect.

En logaritme nemen en dan machtsverheffen evenmin.

.

De logaritme voor het grondtal is dus de inverse van de exponentiële functie met als grondtal. Wanneer men de grafiek van de logaritme voor het grondtal spiegelt ten opzichte van de lijn , krijgt men zoals altijd de grafiek van de inverse functie, hier dus .

Geschiedenis[bewerken]

De Zwitserse klokkenmaker Jost Bürgi, in dienst van de hertog van Hessen-Kassel, was de eerste die het begrip logaritme ontwikkelde.

De natuurlijke logaritme werd voor het eerst in 1614 door John Napier genoemd, die beschouwd wordt als de uitvinder van de logaritme. Hij schreef erover in zijn boek Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Aanvankelijk gebruikte Napier het getal 1/e als grondtal. Hij noemde logaritmen "artificial numbers", kunstmatige getallen. Later bedacht hij de term "logaritme", om aan te geven dat het zowel om een verhouding als om een getal ging, van het Oudgrieks: λόγoς, logos, in de betekenis van verhouding en άριθμός, arithmos, getal.

Het gebruik van logaritmen droeg door de vereenvoudiging van ingewikkelde berekeningen bij aan de vooruitgang van de wetenschap, speciaal aan de sterrenkunde. De logaritmen verdrongen de ingewikkelder prosthaphaeresis, gebaseerd op goniometrische vergelijkingen, als snelle methode om te vermenigvuldigen. Voor de komst van rekenmachines en computers, werden logaritmen veel gebruikt voor berekeningen, o.a. in de navigatie en de technische wetenschappen.

De Briggse logaritme is genoemd naar de Engelse wiskundige Henry Briggs. De logaritmetafels met het grondtal e waren zeer moeilijk op te stellen. Ze waren daardoor onnauwkeurig. Briggs stelde voor het grondtal 10 toe te passen. Dit rekende gemakkelijker. Na een bezoek aan Napier in 1615 schreef Briggs zijn eerste werk, Logarithmorum Chilias Prima, Inleiding in de logaritmen, dat in 1617 verscheen. Hij schreef in 1624 nog een wiskundige verhandeling onder de titel Arithmetica Logarithmica. Dit werk bevatte de logaritmen van de natuurlijke getallen van 1 tot 20.000 en van 90.000 tot 100.000 berekend tot op 14 decimale cijfers. Hij stelde die tafels op, door met pen en papier de eerste 27 opeenvolgende vierkantswortels uit 10 te trekken met 16 cijfers na de komma. De 27 volgende wortels bepaalde hij met een benaderingsformule. In hetzelfde werk vinden we ook tafels voor de sinus tot 15 decimale cijfers en van de tangens en secans tot op 10 decimale cijfers.

De nog aanwezige leemte in de logaritmentafel, 70%, tussen 20.000 en 90.000 was nog niet berekend, werd in Gouda door de landmeter Ezechiel de Decker opgevuld in twee afzonderlijke uitgaven. In 1626 verscheen zijn Eerste deel der nieuwe telkonst en in 1627 samen met Adriaen Vlacq het Tweede deel van de nieuwe telkonst. De volledige tafels werden in 1628 in Vlacqs Arithematica Logarithmica voor het eerst gepubliceerd.

De uiteindelijke complete tabellen van Briggs werden in 1631 in Gouda gedrukt en in 1633 onder de titel van Trigonometria Britannica gepubliceerd. Dit werk was de opvolger van Briggs' in 1617 gepubliceerde Logarithmorum Chilias Prima. Dit was het eerste rekensysteem dat goed werkte.

Toepassing[bewerken]

Met behulp van logaritmen kunnen de volgende bewerkingen worden herleid tot optellingen en aftrekkingen.

Vermenigvuldigen

Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen. Een eigenschap van logaritmen is namelijk dat een vermenigvuldiging omgezet kan worden naar een optelling:

Om het product van en te berekenen, worden de logaritmen van en van bij elkaar opgeteld. Daarna wordt het getal gezocht waarvan dit resultaat de logaritme is. De logaritmen worden niet berekend, maar over en weer opgezocht in tabellen. Deze logaritmetafels (tabellen van getallen met hun logaritme) zijn al eeuwen geleden uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs etc.

Delen

Door logaritmen van elkaar af te trekken kunnen ook delingen uitgevoerd worden.

Machtsverheffen

Neemt men twee maal achter elkaar de logaritme, dan kan men door op te tellen een getal verheffen tot een willekeurige macht.

Worteltrekken

Neemt men twee maal achter elkaar de logaritme, dan kan men door af te trekken een willekeurige wortel trekken.

Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmen gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de rekenmachine zijn zowel logaritmetafels als rekenlinialen in onbruik geraakt.

De logaritme is een rekenkundige bewerking van de derde orde.

Logaritmische schalen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Logaritmische schaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft, dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. De wet van Weber zegt dat de menselijke zintuigen een logaritmische indruk opdoen van de intensiteit van de prikkel.

Bekende logaritmische schalen zijn:

Grootte-ordes en logaritmen[bewerken]

De logaritme van een getal x geeft de grootte-orde van x aan. Als we 10 als grondtal nemen is dat goed te zien:

logaritme van 1 is 0, want 100= 1
logaritme van 10 is 1, want 101= 10
logaritme van 100 is 2
logaritme van 1000 is 3

De orde van grootte van 3269 is ; de wetenschappelijke notatie is dan ook 3269=3,269·103.

Het werkt ook voor negatieve machten. De orde van grootte van 0,03269 is ; de wetenschappelijke notatie is: 0,03269=3,269·10−2.

In een n-tallig talstelsel is het mogelijk om op onderstaande wijze het aantal cijfers voor de komma van een willekeurig getal x te bepalen.

aantal cijfers =

Het aantal cijfers van een getal in het tientallige stelsel wordt dus bepaald door .

Rationaliteit[bewerken]

Zijn en natuurlijke getallen, dan is over het algemeen een irrationaal getal. Alleen als er natuurlijke getallen en zijn zodat is de logaritme rationaal.

Limieten[bewerken]

Voor logaritmen gelden de onderstaande limieten.

Voor geldt:

Voor geldt:

Andere grondtallen[bewerken]

Logaritmen laten zich gemakkelijk omzetten naar een ander grondtal; zij verhouden zich als een constante factor. Uit

,

volgt namelijk dat

.

Overigens ziet deze betrekking er fraaier uit in de andere notatie voor logaritmen:

.

Praktisch voorbeeld met een rekenmachine die toelaat of te berekenen, maar niet rechtstreeks :

of ook .

Afgeleide[bewerken]

Een bijzondere eigenschap van de natuurlijke logaritme is de eenvoudige vorm van z'n eerste afgeleide, namelijk:

.

Uit de kettingregel volgt namelijk:

,

waaruit het gestelde volgt.

Door gebruik te maken van de natuurlijke logaritme en zijn afgeleide, is het mogelijk om de afgeleiden van andere logaritmen te bepalen.

Aangezien altijd positief is, en is voor en is voor , is een strikt stijgende functie als en een strikt dalende functie als .

Rekenen met logaritmen[bewerken]

Bij het werken met logaritmen kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande regels

  • (definitie)
volgt uit:
volgt uit:
  • (soms ook geschreven: )
volgt uit:

Logaritmen van complexe getallen[bewerken]

Hierboven was het argument , het getal waarvan we een logaritme nemen, steeds een positief reëel getal. Het is echter mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar de complexe en daarmee ook naar de negatieve getallen. De logaritme van de complexe getallen kan niet voor verschillende grondtallen worden genomen, maar de complexe logaritme van een positief getal komt met de natuurlijke logaritme van overeen.

Het complexe getal heet een logaritme van , dus , als . Men spreekt van een logaritme omdat er in het algemeen bij oneindig veel getallen zijn die als logaritme optreden. Omdat vanwege de identiteit van Euler , verschillen de diverse logaritmen van een complex getal een geheel veelvoud van van elkaar. Schrijft men het complexe getal in poolcoördinaten:

,

met absolute waarde en argument , dan is ieder getal

een logaritme van . De logaritme voor complexe getallen is een meerwaardige functie:

.

Het is gebruikelijk het argument zo te definiëren dat . Deze waarde van de logaritme, dus met , heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Negatieve getallen zijn complexe getallen. Bijvoorbeeld is een complex getal op de eenheidscirkel met argument . De logaritme van −1 heeft daarom een hoofdwaarde van .

Logaritmen van quaternionen[bewerken]

Het is mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar quaternionen.

Een quaternion heet een logaritme van , , als .

Men spreekt van een logaritme omdat er bij oneindig veel getallen zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van , waarin de eenheidsvector is die overeenkomt met , zodanig dat en

.

Dit komt doordat .

Schrijft men als:

,

met absolute waarde , argument en eenheidsvector , dan is elk van de getallen

een logaritme van . De logaritme voor quaternionen is een meerwaardige functie:

.

(N.B. Het is gebruikelijk het argument zo te definiëren dat .)

De waarde van de logaritme voor , heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Voor twee quaternionen en geldt:

Dit is opnieuw een meerwaardige functie die afhangt van twee gehele getallen (behorend bij ) en (behorend bij ). Stelt men nu , dan krijgt men de hoofdwaarde van

Berekeningen met grote getallen[bewerken]

Logaritmen zijn ook een hulp bij berekeningen met grote getallen, geschreven als een macht, die met een grafische rekenmachine onmogelijk zijn uit te rekenen (zonder herschrijven).

Voorbeeld[bewerken]

Het berekenen van

is onmogelijk met een rekenmachine te doen. Met logaritmen gaat dit wel:

We hebben nu de logaritme van het gezochte antwoord berekend. Nu moeten we nog deze macht van 10 berekenen:

ISO 31-11[bewerken]

ISO 31-11, de ISO-standaard voor wiskundige tekens, geeft voor de volgende logaritmen de notatie:

Grondtal Symbool
10 lg
e ln
2 lb

Waarden[bewerken]

In de onderstaande figuur zijn de waarden van de logaritme met grondtal 10, van de Briggse logaritme af te lezen.

Grafiek van de logaritme met grondtal 10.
Let op: aan de linkerzijde van de grafiek heeft de logaritme als verticale asymptoot de lijn . De grafiek gaat naar als naar nul nadert, aan de rechterkant is er geen asymptoot.