Kettingregel

De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.

Als de functie $f=g\circ h$ de samenstelling is van de functies $g$ en $h$, dus $f(x)=g(h(x))$, dan is:

$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$,

of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met $f$ aanduidt en zegt dat $f$ via $h$ van $x$ afhangt:

${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}={\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}h}}\cdot {\frac {{\rm {d}}h}{{\rm {d}}x}}$

Formalisering

Laat $U$ en $V$ open intervallen zijn en $g:U\to \mathbb {R}$ en $h:V\to \mathbb {R}$ functies met $h(V)\subseteq U$. Als $h$ differentieerbaar is in het punt $a\in V$ en $g$ differentieerbaar in het punt $h(a)\in U$, dan is de samenstelling $g\circ h:V\to \mathbb {R}$ differentieerbaar in $a$, en er geldt:

$(g\circ h)'(a)=g'\left(h(a))\right)\cdot h'(a).$

Schets van een bewijs

$(g\circ h)'(x)=$

$=\lim _{x\to a}{\frac {(g\circ h)(x)-(g\circ h)(a)}{x-a}}$

$=\lim _{x\to a}{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{x-a}}$

$=\lim _{x\to a}\left[{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}\cdot {\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}\right]$

$=\lim _{x\to a}{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}$

$=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat

$h(x)=h(a)$

zodat in het bewijs door 0 gedeeld zou worden.

Toepassing

Voorbeelden

De functie

$f(x)=\sin(x^{2})$

is de samenstelling van de functies

$g(y)=\sin(y)$

en

$h(x)=x^{2}$

De afgeleide van $f$ kan bepaald worden met de kettingregel:

$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x$

De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:

$f(x)=\sin \left(e^{\cos(2x)}\right)$

Deze functie is een "ketting"

$f=d\circ c\circ b\circ a$

van de functies:

$a(x)=2x$

$b(y)=\cos(y)$

$c(z)=e^{z}$

$d(t)=\sin(t)$

De afgeleiden van deze functies zijn:

$a'(x)=2$

$b'(a)=-\sin(a)$

$c'(b)=e^{b}$

$d'(c)=\cos(c)$

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:

$f'(x)=d'(c)\cdot c'(b)\cdot b'(a)\cdot a'(x)$

dus:

$f'(x)=\cos(c(b(a(x))))\cdot e^{b(a(x))}\cdot (-\sin(a(x)))\cdot 2$

en na invulling

$f'(x)=-2\cdot \sin(2x)\cdot e^{\cos(2x)}\cdot \cos(e^{\cos(2x)})$

Inverse functie

Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie $f$ en z'n inverse $f^{-1}$.

Er geldt immers: $f(f^{-1})(x)=x$, zodat volgens de kettingregel:

$(f\circ f^{-1})'(x)=f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1$,

zodat

$(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}$.

Toepassing

De afgeleide van de boogsinus:

$\arcsin '(x)={\frac {1}{\sin '(\arcsin(x))}}={\frac {1}{\cos(\arcsin(x))}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin(x))}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Reciproque

Met de kettingregel kan ook de afgeleide bepaald worden van de reciproque $g(x)=1/f(x)$ van een functie $f(x)$. Er geldt immers: $g(x)=((h\circ f)(x)$, met $h(y)=1/y$, zodat volgens de kettingregel:

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=g'(x)=h'(f(x))\cdot f'(x)=-{\frac {1}{(f(x))^{2}}}\cdot f'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}$

Meer dan één veranderlijke

Stel dat $f=g\circ h$ de samenstelling is van de vectorwaardige functies $g$ en $h$ in meer dan één veranderlijke. Bijvoorbeeld

$h:D\subset \mathbb {R} ^{m}\to E\subset \mathbb {R} ^{n},\ g:E\to \mathbb {R} ^{p},\ f=g\circ h:D\to \mathbb {R} ^{p}$

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies $g$ en $h$ in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

$h'(x):\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},\ g'(h(x)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval $f$ ook differentieerbaar is in $x$, en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van $h$ en $g$

$f'(x)=g'(h(x))\circ h'(x)$

Als de betrokken lineaire afbeeldingen opgevat worden als rechthoekige matrices (bestaande uit alle mogelijke partiële afgeleiden), dan is de matrix van $f'(x)$ gelijk aan het product van de matrices van $g'(h(x))$ en $h'(x)$. Uitdrukkelijk:

${\partial f_{i} \over \partial x_{k}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g_{i} \over \partial x_{j}}{\partial h_{j} \over \partial x_{k}}\ (i=1,\ldots ,p;\ k=1,\ldots ,m)$

Bijvoorbeeld voor $p=1,m=1$:

${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}{\partial h_{j} \over \partial x}$

Met aanvullend $h_{j}(x)=x\ (j=1,\ldots ,n)$ geeft dit:

Als $f(x)=g(x,\ldots ,x)$ (met $n$ argumenten $x$) dan

${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}$

Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.

Zie ook

• Afgeleide
• Productregel
• Quotiëntregel
• Integratie door substitutie