Kettingregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.

Als de functie de samenstelling is van de functies en , dus , dan is:

,

of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met aanduidt en zegt dat via van afhangt:

Formalisering[bewerken]

Laat en open intervallen zijn en en functies met . Als differentieerbaar is in het punt en differentieerbaar in het punt , dan is de samenstelling differentieerbaart in , en er geldt:

Schets van een bewijs[bewerken]

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat

zodat in het bewijs door 0 gedeeld zou worden.

Toepassing[bewerken]

Voorbeelden[bewerken]

De functie

is de samenstelling van de functies

en

De afgeleide van kan bepaald worden met de kettingregel:


De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:

Deze functie is een "ketting"

van de functies:

De afgeleiden van deze functies zijn:

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:

dus:

en na invulling

Inverse functie[bewerken]

Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie en z'n inverse .

Er geldt immers: , zodat volgens de kettingregel:

,

zodat

.
Toepassing

De afgeleide van de boogsinus:

Reciproque[bewerken]

Met de kettingregel kan ook de afgeleide bepaald worden van de reciproque van een functie . Er geldt immers: , met , zodat volgens de kettingregel:

Meer dan één veranderlijke[bewerken]

Stel dat de samenstelling is van de vectorwaardige functies en in meer dan één veranderlijke. Bijvoorbeeld

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies en in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval ook differentieerbaar is in , en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van en

Als de betrokken lineaire afbeeldingen opgevat worden als rechthoekige matrices (bestaande uit alle mogelijke partiële afgeleiden), dan is de matrix van gelijk aan het product van de matrices van en . Uitdrukkelijk:

Bijvoorbeeld voor :

Met aanvullend geeft dit:

Als (met argumenten ) dan

Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.

Zie ook[bewerken]