Productregel (afgeleide)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De productregel is een formule om de afgeleide van een product van functies te bepalen. Voor de afgeleide van het product van twee in het punt a differentieerbare functies f en g geldt:

(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

Deze regel wordt verkort wel genoteerd als:

(fg)'= f'g + fg'

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de functie h(x) = x^3 \cos(x). Deze functie is te schrijven als het product van f(x) = x^3 en g(x) = \cos(x).

Nu is f'(x) = 3x^2 en g'(x) = -\sin(x). Toepassing van de productregel levert dan

h'(x)=(x^3 \cos x)'= (x^3)'\cos x + x^3 (\cos x)' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x

Bewijs van de productregel[bewerken]

In onderstaand bewijs zijn de functies f en g differentieerbaar in het punt a.

(fg)' (a) = \lim_{x \to a} \frac{{f(x) g(x) - f(a) g(a)}}{x - a}
  = \lim_{x \to a} \frac{(f(x) - f(a)) g(x) + f(a) (g(x) - g(a))}{x - a}
  = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \lim_{x \to a} g(x) + f(a) \lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a}
= f'(a) g(a) + f(a) g'(a)

Veralgemening[bewerken]

De regel kan veralgemeend worden naar een product van meer dan twee functies.

Voor drie functies f, g en h verkrijgen we in de verkorte notatie

\left(fgh\right)^\prime   = f'gh + fg'h + fgh'

Veralgemenen naar n functies geeft met behulp van het sommatie- en productsymbool


\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {f_i } } \right)^\prime  \left( a \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f_i \left( a \right) \cdot } \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{f_i ^\prime  \left( a \right)}}{{f_i \left( a \right)}}} } \right)

Zie ook[bewerken]