Sommatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Sommatie is het optellen van een groep getallen, het resultaat hiervan is de som of het totaal. Een oneindige som wordt vaak gezien als een reeks.

Notatie[bewerken]

In de wiskunde is er een compacte en effectieve manier om een sommatie aan te geven. Dit wordt in de wiskunde gedaan met Σ, de hoofdletter sigma uit het Griekse alfabet, vaak in groter formaat, zoals .

Syntaxis[bewerken]

Een sommatie ziet er zo uit:

Het getal i - een zogeheten dummyvariabele - duidt de index aan. Het getal m is de ondergrens van de sommatie, en het getal n de bovengrens van de sommatie. De vermelding van i=m geeft aan dat de sommatie begint met de term met als index de waarde m. Elke volgende term heeft een index 1 hoger dan de vorige, en de sommatie eindigt met de term met index n.

Zo is met :

Dat de index een dummyvariabele is, houdt in dat voor de index ook een andere letter, bijvoorbeeld de letter k, gebruikt kan worden:

Met k als index wordt de bovengenoemde sommatie:

Of met de letter n als index en als algemene term :


Niet iedere term hoeft de index te bevatten. Bijvoorbeeld geldt dat:



Formele definitie[bewerken]

De sommatie van een eindig aantal termen is formeel recursief gedefinieerd door:

en voor :

Einstein-sommatieconventie[bewerken]

Volgens de einstein-sommatieconventie, veel gebruikt in theoretische fysica en met name voor algemene relativiteitstheorie worden sommatietekens weggelaten en wordt er automatisch over een index gesommeerd als deze in een uitdrukking zowel covariant als contravariant voorkomt.

In programmeertalen[bewerken]

De sommatie kan ook worden gebruikt in programmeertalen, een paar voorbeelden:
In Python:

sum(x[m:n+1])

En dit in Fortran (of Matlab):

sum(x(m:n))

In C/C++/C#/Java kan men deze code gebruiken, mits n, m en x zijn int-types. Dat x een array is. En dat :

int i;
int som = 0;
for (i = m; i <= n; i++)
    som += x[i];

Eindige sommen[bewerken]

Voor diverse eindige sommen is de uitkomst samen te vatten in een eenvoudige formule. Bijvoorbeeld

En

En

Een vaak gebruikte formule is

voor

Oneindige sommaties[bewerken]

Een oneindige sommatie wordt ook wel een reeks genoemd. Het eventuele resultaat is de limiet van de partiële sommen.

Uit de bovenstaande formule voor volgt als we geen n maar oneindig veel termen sommeren de formule voor de meetkundige reeks

voor


Voorbeeld van een reeks met π in de uitkomst[bewerken]

Een formule van Leonhard Euler luidt:

Andere voorbeelden staan bij het lemma reeks.