Afgeleide

In de wiskunde is de afgeleide (het differentiaalquotiënt) een maat voor de verandering die een functie ondergaat als de argumenten van deze functie een infinitesimaal kleine verandering ondergaan.

In een functie met één reële variabele wordt de afgeleide in een punt gegeven door de helling van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in dat punt. Het woord afgeleide is hier in feite een afgekorte term voor het begrip afgeleide waarde. Het is een waarde die afgeleid is van de oorspronkelijke functie. Het bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren.

Als de afgeleide van een functie f gedefinieerd is voor alle punten in het domein van f, wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden.

De afgeleide van een functie f met variabele x wordt vaak genoteerd als $f\,'$ ("f-accent") of als $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$. De notatie $\mathrm{D}f$ wordt ook gebruikt.

Als $y= f(x)$ dan schrijft men soms $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$, $\mathrm{D}y$ of $y\,'$ of indien er verwarring mogelijk is $y\,'_{\!{ }_x}$.

Voorbeeld

Een fietser rijdt langs een rechte weg. De weg die hij heeft afgelegd in de tijd t sinds hij begon te fietsen, noemen we s(t). Hoe snel fietste hij op het tijdstip t₀? We kunnen zijn snelheid enigszins bepalen door te kijken welke afstand hij aflegde in de tijd Δt na het tijdstip t₀. Deze afstand is:

$\Delta s = s(t_0+\Delta t)-s(t_0)\!$

Zijn gemiddelde snelheid in die periode was:

$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$.

Hoe kleiner we de periode Δt nemen, hoe meer de gemiddelde snelheid de snelheid v(t₀) op het tijdstip t₀ zal benaderen. Die snelheid is de limiet voor Δt naar 0 en heet de afgeleide van s(t) naar t:

$v(t_0)=s'(t_0)=\frac{\operatorname{d}s}{\operatorname{d}t}(t_0)=\left .\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\,\right|_{t=t_0}.$

Definitie

Laat f: R→R een continue functie zijn. We bekijken een lijn door twee vlak bij elkaar liggende punten op de grafiek van f: het punt (x, f(x)) en het punt (x + Δx, f(x + Δx)). Het verschil tussen de x-coördinaten van deze punten is Δx en het verschil tussen hun y-coördinaten is Δf = Δy = f(x + Δx) - f(x). De helling van de lijn door deze twee punten is

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

We definiëren de afgeleide van f in x als de volgende limiet, onder de voorwaarde dat deze bestaat:

$f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

Als deze limiet bestaat, noemen we f differentieerbaar in x.

Een equivalente definitie, die eenvoudiger gegeneraliseerd kan worden naar functies van meer variabelen, is de volgende: Laat x₀ een reëel getal zijn. Als er een reëel getal a en een functie r bestaan zodat voor alle x geldt

$f(x)=f(x_0)+a\cdot(x-x_0)+r(x-x_0)$

en bovendien $\lim_{h\to 0}\frac{r(h)}{h} = 0$, dan is a de afgeleide van f in x₀.

Voor een functie met één reële variabele betekent dit meetkundig dat de afgeleide op een bepaald punt gelijk is aan de helling van de raaklijn aan de grafiek in dit punt.

Afgeleiden van elementaire functies

• De afgeleide van $\ f(x)=c$ (constant) is:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h}=0$

• De afgeleide van $\ f(x)=x$ is:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1$

• De afgeleide van $\ f(x)=x^2$ is:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=$

$=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh +h^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2xh +h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x$

• De afgeleide van $f(x)=x^n$ voor natuurlijke $n>1$:

$f(x+h)=(x+h)^n=x^n+nhx^{n-1}+r(x,h)=f(x)+hnx^{n-1}+r(x,h)\,$

met

$\lim_{h\to 0}\frac{r(x,h)}{h}=0$,

dus:

$f'(x)=nx^{n-1}$

Voor $n=1$ is de bovenstaande afleiding niet geldig voor $x=0$, omdat $0^0$ niet gedefinieerd is. Bijgevolg geldt de bovenstaande formule voor de afgeleide van $x^n$ voor $n>1$. De formule kan geldend gemaakt worden door de afspraak dat hier zal gelden dat $0^0=1$.

• De regel voor de afgeleide van $\ f(x)=x^n$ waarin $\ n \in \mathbb{N}_0$, kan uitgebreid worden naar $f(x)=x^z \!$ waarin $\ z \in \mathbb{Z}_0$ (een geheel getal verschillend van 0).

De afgeleide van $f(x)= \frac{1}{x} = x^{-1}$ is:

$f'(x)=-1 \cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=\frac{-1}{x^2}$

• De regel kan nog verder uitgebreid worden naar $f(x)=x^q$ waarin $q \in \mathbb{Q}_0$ (een rationaal getal verschillend van 0).

De afgeleide van $f(x)= \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ is:

$f'(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} -1}=\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

• De afgeleide van $f(x)=e^x$

$f(x+h)=e^{x+h}=e^x(1+h+\tfrac 12h^2+\ldots)=f(x)+he^x+r(x,h)$

met

$\lim_{h\to 0}\frac{r(x,h)}{h}=0$,

dus:

$f'(x)=e^x$

• Met deze regel kan verder afgeleid worden voor de afgeleide van $f(x)=x^a$ met $a\in \R$, dat voor $x\neq 0$ geldt:

$f'(x)=e^{a\log(x)}a\log'(x)=a\,x^a\frac 1x=a\,x^{a-1}$

• De afgeleide van $\ f(x)=\log(x)$

Deze afleiding is moeilijker dan de drie bovenstaande en vereist universitaire kennis met betrekking tot continuïteit en de e-macht. Verderop in dit artikel staat een vlotte, elegante afleiding via de kettingregel.

Definieer (ten behoeve van notatie): $\ 1/h=q$.

$\lim_{h\downarrow 0}\frac{\log(x+h)-\log(x)}{h}=\lim_{h\downarrow 0} \tfrac 1h \log\left(\frac{x+h}{x}\right)=$

$=\lim_{q \to \infty} q \log\left(1+\tfrac{1}{qx}\right)=\lim_{q \to \infty}\log\left(\left(1+\tfrac{1}{qx}\right)^q\right)=$

(Gebruik continuïteit van de logaritme om de limiet en logaritme te verwisselen)

$=\log\left(\lim_{q\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{qx}\right)^q\right)$

$=\log\left(\lim_{q\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{qx}\right)^{qx}\right)^\frac1x$

(Gebruik een karakterisering van de e-macht)

$=\log\left(e^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x}$

Analoog:

$\lim_{h\uparrow 0}\frac{\log(x+h)-\log(x)}{h}=\lim_{h\uparrow 0} \tfrac 1h \log\left(\frac{x+h}{x}\right)=$

$=\lim_{q \to {-\infty}} q \log\left(1+\tfrac{1}{qx}\right)=\lim_{|q| \to \infty}\log\left(\left(1-\tfrac{1}{|q|x}\right)^{-|q|}\right)=\frac{1}{x}$

Omdat linker- en rechterlimiet gelijk zijn, geldt:

$f'(x)=\frac 1x\,$

• Afgeleiden van goniometrische functies onder gebruikmaking van de onderstaande rekenregels:

De afleiding van de afgeleide van de sinus berust op de gehanteerde definitie, bv. de reeksdefinitie.

$\sin'(x)=\cos(x)\!$

$\cos'(x)=(\sin(\tfrac{\pi}{2}-x))'=\sin'(\tfrac{\pi}{2}-x)(\tfrac{\pi}{2}-x)'=\cos(\tfrac{\pi}{2}-x)(-1)=-\sin(x)$

$\tan'(x)=\frac{\sin'(x) \cos(x)-\sin(x) \cos'(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}$

$\cot'(x)=\frac{\cos'(x) \sin(x)-\cos(x) \sin'(x)}{\sin^2(x)}=\frac{-(\sin^2(x)+\cos^2(x))}{\sin^2(x)}=\frac{-1}{\sin^2(x)}$

• Afgeleiden van cyclometrische functies

$\arcsin'(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\arccos'(x)= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\arctan'(x)= \frac{1}{1+x^2}$

$\arccot'(x)= \frac{-1}{1+x^2}$

• Afgeleiden van hyperbolische functies

$\sinh'(x)=\cosh(x)\,$

$\cosh'(x)=\sinh(x)\,$

Rekenregels

• Lineariteit:

$(af)'(x)=af'(x)\,$

• Somregel:

$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\,$

• Productregel:

$(f \cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\!$

• Quotiëntregel:

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

• Kettingregel:

$(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$

• Afgeleide van inverse functie:

$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Toepassing van de rekenregels

Met behulp van de rekenregels kan een eenvoudiger afleiding gegeven worden voor de afgeleide van de logaritme. De logaritme is de inverse van de e-macht, dus:

$1=x'=\left(e^{\ln(x)}\right)' = e^{\ln(x)} \ln'(x)=x \ln'(x)\,$

dus:

$\ln'(x)=\frac{1}{x}.$

We vinden ook de regel voor de vierkantswortel: $(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}$ mits $\ f(x)>0$

Met behulp van de kettingregel kan ook de afgeleide van :$f(x)=a^x\,$, worden bepaald, namelijk

$f(x)=a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x{\ln(a)}}\,$, en dus:

$f'(x)= e^{x{\ln(a)}} {\ln(a)} = a^x {\ln(a)}\,$

Niet differentieerbaar

De functie f(x) = |x| is weliswaar continu in het punt 0, maar daar niet differentieerbaar. Er geldt namelijk:

$\lim_{h\downarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\downarrow 0}\frac{h}{h} = 1$

en

$\lim_{h\uparrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\uparrow 0}\frac{-h}{h} = -1$

De linker- en rechterlimieten zijn ongelijk aan elkaar. Dit is aan de vorm van de grafiek van de functie ook goed te zien.

De functie signum of "het teken van x":

$f(x)=\sgn(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{als } x < 0 \\ 0 & \mbox{als } x = 0 \\ 1 & \mbox{als } x > 0 \end{cases}$

is niet continu in het punt 0 en dus daar niet differentieerbaar. Er geldt:

$\lim_{h\downarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\downarrow 0}\frac{1-0}{h} = \infty$

en

$\lim_{h\uparrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\uparrow 0}\frac{-1-0}{h} = \infty$

Functies van meer dan één variabele

Als f van verscheidene veranderlijken afhangt, dan kan men alle veranderlijken op een na een constante waarde geven en de afgeleide ten opzichte van de ene overblijvende veranderlijke bestuderen: partiële afgeleide.

Het artikel differentieerbaarheid bespreekt hoe de afgeleide van een functie van $\mathbb{R}^m$ naar $\mathbb{R}^n$ kan worden opgevat als een matrix.

Afgeleiden van hogere orden

Is f' ook differentieerbaar, dan is het mogelijk hiervan de afgeleide f'' te bepalen. Deze heet de afgeleide van de tweede orde, of kortweg tweede afgeleide van f. Ook hogere afgeleiden komen voor. De n-de afgeleide van f wordt soms aangeduid met f⁽ⁿ⁾.

We kunnen de hogere afgeleiden van een functie $\ y=f(x)$ vinden met

$\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}=\lim_{h \to 0}\frac{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}f(x+kh)}{h^n}$

waarin $\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ de n-de afgeleide is (dus $\frac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4}$ is het zeflde als $\ f''''(x)$).

Fractionele afgeleiden

Het is ook mogelijk afgeleiden van niet-gehele orde te definiëren, bijvoorbeeld van orde p=1,5. Deze hebben met integralen gemeen dat hun waarde van zowel een boven- als een ondergrens afhangt. Bij afgeleiden van gehele orde is dit niet zo. Een van de manieren waarop een dergelijke fractionele afgeleide bepaald kan worden is door eerst een functie aan Fouriertransformatie te onderwerpen, vervolgens met de frequentie ω tot de macht p te vermenigvuldigen en weer terug te transformeren.

Toepassingen

Belangrijke toepassingen vindt de afgeleide in de wiskunde. Zo kan een maximum of minimum van een functie gevonden worden door de afgeleide te bepalen. Indien een functie voor een bepaalde x-waarde een (lokaal) maximum of een (lokaal) minimum bereikt, dan is de afgeleide van de functie op dat punt indien deze bestaat gelijk aan nul, en wisselt bij de daaropvolgende x-waarden van teken (wordt positief of juist negatief). Om een grafiek van een functie met de hand te tekenen is het daarom zinvol eerst de eventuele maxima en minima te bepalen. Om te bepalen of de punten waarin de afgeleide gelijk is aan nul maxima or minima zijn wordt soms gebruikgemaakt van de Hessiaan.

Een toepassing van de tweede afgeleide is het volgende. Indien x een punt is waarvoor geldt dat $\ f'(x) = 0$, dan is het punt x een buigpunt, een lokaal maximum of een lokaal minimum. Deze drie gevallen kunnen onderscheiden worden door naar de tweede afgeleide te kijken. Wanneer $\ f''(x)<0$ , dan is er sprake van een lokaal maximum, en wanneer $\ f''(x)> 0$ , dan spreken we van een lokaal minimum. Als $\ f''(x) = 0$, dan is nader onderzoek nodig van het verloop van de tweede afgeleide in een omgeving van x, om een uitspraak (buigpunt, lokaal maximum, lokaal minimum) te kunnen doen.

Het omgekeerde van de afgeleide bepalen heet de primitieve bepalen.

Veel toepassingen heeft de afgeleide ook in de natuurkunde. Zo is bijvoorbeeld de snelheid de afgeleide bij het berekenen van plaats als functie van tijd. De versnelling is (bij een rechtlijnige beweging) dan weer de afgeleide van de snelheid.

Ook binnen de economie heeft de afgeleide verschillende toepassingen, zeker sinds de zogenaamde "marginale revolutie" binnen de economische wetenschap. Via de afgeleide kunnen we begrippen als marginale opbrengst en marginale kosten berekenen. In deze gevallen gaat het om de afgeleide van de totale opbrengst en de totale kosten.

Zie ook

• Eerste afgeleide
• Tweede afgeleide
• Partiële afgeleide
• Richtingsafgeleide
• Methode van Newton-Raphson
• Lijst van afgeleiden

Externe links

• Wetenschapsforum.nl. Minicursus differentiëren

Wikibooks

Wikibooks heeft een studieboek over dit onderwerp: Inleiding afleiden.