Raaklijn

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Elke zwarte lijn door P is een benadering van de blauwe raaklijn in P.

De raaklijn of tangent aan een kromme in een punt van die kromme is in de meetkunde de rechte lijn door dat punt die in dat punt dezelfde richting heeft als de kromme. Het punt waarin de raaklijn de kromme raakt, heet raakpunt (soms ook tangentpunt). De raaklijn is de benadering van de kromme in het raakpunt door een rechte lijn. De raaklijn kan de kromme eventueel nog snijden in een ander punt dan het raakpunt.

De raaklijn L in een punt P van de kromme kan gezien worden als de limietstand van de lijn door P en een ander punt Q van de kromme als het punt Q het raakpunt P nadert. Daaruit blijkt ook dat niet in elk punt van een willekeurige kromme een raaklijn bestaat. De kromme zal aan bepaalde eisen van differentieerbaarheid moeten voldoen.

Specifiek geval in twee dimensies[bewerken | brontekst bewerken]

Heel algemeen wordt een vlakke kromme gegeven door de coördinaatfuncties en , waarbij de parameter een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. De raaklijn aan die kromme in een punt van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme. De vergelijking van de raaklijn wordt het eenvoudigst voorgesteld door:

In het betrokken punt is de helling:

mits de afgeleiden bestaan.

Is de kromme de grafiek van de functie , dan wordt de raaklijn in het punt gegeven door:

Voorbeeld 1[bewerken | brontekst bewerken]

Een ellips is voor gegeven door de coördinaatfuncties

De vergelijking van de raaklijn in een punt aan de ellips is dus:

Daarin is:

Voorbeeld 2[bewerken | brontekst bewerken]

De raaklijn aan de parabool in het punt wordt gegeven door:

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt de lijn:

Afbeelding[bewerken | brontekst bewerken]

Algemeen geval in drie dimensies[bewerken | brontekst bewerken]

Een kromme in drie dimensies wordt ruimtekromme genoemd, heel algemeen voorgesteld door de parametervoorstelling met de drie coördinaatfuncties en .

Als de ruimtekromme differentieerbaar is in het punt , kan de raaklijn in dat punt bepaald worden met behulp van de afgeleide van de ruimtekromme in dat punt:

De raaklijn wordt dan beschreven door de functies

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

  • Eerlijk delen, een techniek om de vergelijking van een raaklijn af te leiden uit de vergelijking van een kegelsnede