Gradiënt (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De gradiënt van de functie f(x,y) = −(cos2x + cos2y)2 voorgesteld als een projectie van het vectorveld op het onderste vlak

In de wiskundige analyse geeft de gradiënt van een functie van meer veranderlijken, een scalair veld, de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone cartesische coördinaten de vector is van partiële afgeleiden, is de generalisatie in meer dimensies van het begrip afgeleide.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Onder de gradiënt van een reële functie van reële veranderlijken in een punt van verstaat men de vector met als componenten de partiële afgeleiden van in , dus:

Vaak noteert men de gradiënt met behulp van de formele operator nabla:

Als deze partiële afgeleiden in (een open deelverzameling van) bestaan, bepaalt de gradiënt van een vectorveld.

Formeel is de gradiënt hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van (zie differentieerbaarheid).

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Voor de driedimensionale functie is dus:

Stel dat wordt gegeven door:

,

dan wordt de gradiënt van gegeven door:

,

wat een vectorveld in drie dimensies voorstelt.

Sterkste variatie[bewerken | brontekst bewerken]

Met elke (georiënteerde) richting van komt een richtingsafgeleide van in overeen. Als differentieerbaar is in , dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.

Gekromde ruimten[bewerken | brontekst bewerken]

Op een algemene gladde variëteit noteert men voor de eenvorm (covectorveld) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van in dat coördinatenstelsel.

Op een riemann-variëteit levert de metrische tensor een eenduidig verband tussen covectoren en vectoren, zodat de gradiënt daar opnieuw als een vectorveld kan worden opgevat: