Richtingsafgeleide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de analyse is de richtingsafgeleide van een functie van meer variabelen een generalisatie van het begrip partiële afgeleide, waarvan de richting altijd langs een van de coördinaatassen ligt. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige richting. De richtingsafgeleide is dus de verandering van de functie in een bepaalde richting.

Bij een differentieerbare functie is in het punt de richtingsafgeleide van volgens een vector gedefinieerd als de limiet:

In de praktijk gebeurt de berekening als het inwendig product van de gradiënt en de vector :

Meestal wordt de definitie aangescherpt door van te eisen dat het een eenheidsvector is.[1][2] Uit een willekeurige vector kan een eenheidsvector worden afgeleid door deze te normeren. De aanscherping zorgt ervoor dat alleen de richting van relevant is en niet de grootte.

De richtingsafgeleide is het grootst in de richting van de gradiënt. Als scalair product van de gradiënt en een vector met norm 1, wordt de grootste waarde bereikt als de hoek tussen beide 0 is.

De richtingsafgeleide in de richting van de positieve -as is gelijk aan de partiële afgeleide naar . In de richting van de negatieve -as is hij gelijk aan –1 maal de partiële afgeleide naar . Dit geldt ook voor de andere variabelen van de gebruikte functie.

Voorbeeld[bewerken]

Gegeven de functie

Gevraagd de richtingsafgeleide langs de eenheidsvector

Oplossing: de gradiënt van de functie is

Hieruit volgt de gevraagde richtingsafgeleide

Referenties[bewerken]

  1. Voortgezette Analyse, (blz. 12), Radboud Universiteit (Nijmegen), 2007/2008
  2. Thomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593.