Vector (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een vector (Latijn: drager) is in de wiskunde een element van een vectorruimte, en daarmee een weinig specifiek begrip. Vectorruimten zijn echter generalisaties van onze gewone driedimensionale ruimte, waarin punten voorgesteld worden door hun drie coördinaten en . Zulke punten, opgevat als pijlen van de oorsprong tot het punt , waren de eerste die vector genoemd werden, een term ingevoerd door William Rowan Hamilton in 1837. Zo'n pijl stelt in de meetkunde en de natuurkunde een grootheid voor die zowel grootte als richting heeft (en eventueel een zin afhankelijk van de gehanteerde definitie), zoals verplaatsing, snelheid, versnelling, kracht, e.d. Alleen de nulvector heeft geen richting.

Soms spreekt men ook over "gebonden vectoren". Een gebonden vector heeft niet enkel een grootte en een richting, maar ook een aangrijpingspunt. Het aangrijpingspunt is het punt waarin de vector "vertrekt". Vectoren zonder aangrijpingspunt worden in dit verband "vrije vectoren" genoemd. Gebonden vectoren vormen eigenlijk een vectorveld, een afbeelding van een ruimte in een vectorruimte. Aan elk punt van de betrokken ruimte (het aangrijpingspunt) wordt een vector toegevoegd. Deze vector is dus gebonden aan z'n aangrijpingspunt.

Voorstelling van een vector[bewerken]

Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel met een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld of als letter met een pijltje erboven, zoals . Dit is echter slechts een kwestie van notatie en heeft op zichzelf geen enkele betekenis. In deze notatieconventie wordt de grootte van de vector ( of ) dan aangegeven door een gewone .

Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z'n aangrijpingspunt (bij vrije vectoren plaatst men het beginpunt veelal in de oorsprong).

een pijltje dat loopt van P naar Q

De vector wordt dan ook geschreven als . Als de vector op de tekening een gebonden vector is, is het aangrijpingspunt van . De afbeelding stelt een vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen. Merk op dat men een (vrije) vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren en op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

Twee vectoren.png

Hieronder gaat het verder over vrije vectoren.

Vectoren in de gewone driedimensionale ruimte[bewerken]

Een vector in de gewone driedimensionale ruimte (de driedimensionale euclidische ruimte, de klassieke natuurkundige ruimte) kan, na een keuze van een basis, gerepresenteerd worden door componenten. Laat de vectoren , en een basis van de ruimte vormen. Dan kan (per definitie van basis) elke vector geschreven worden als een lineaire combinatie van , en . Dit wil zeggen dat er getallen , en zijn zodat .[1] De vectoren , en heten de componenten van de vector . De getallen , en noemt men de coördinaten of kentallen van ten opzichte van de basis De volgorde van , en is belangrijk. Indien het duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet.

Twee vectoren zijn gelijk dan en slechts dan als ze dezelfde componenten hebben. Men schrijft wel (met de van hiervoor), als rij:

of als kolom:

Men kan verschillende bewerkingen uitvoeren met vectoren.

In de reële driedimensionale coördinatenruimte is de standaardbasis met de basisvectoren . Meetkundig worden ze weergegeven door onderling loodrechte vectoren van eenheidslengte. Men kan hierin lengtes en hoeken definiëren (zie onder) die overeenkomen met de meetkundige begrippen, met als resultaat een driedimensionale euclidische ruimte. Omgekeerd kan men uitgaand van een driedimensionale euclidische ruimte, met gegeven begrippen "lengte" en "loodrecht", drie onderling loodrechte vectoren , en van eenheidslengte als basisvectoren kiezen, zodat een vector beschreven kan worden met zijn drie coördinaten.

In beide gevallen is het resultaat een cartesisch coördinatenstelsel met de basisvectoren , waarin een vector wordt geschreven als . In de onderstaande deelparagrafen wordt hiervan gebruikgemaakt.

De richting van noemt men de x-as, van de y-as en van de z-as. Men noemt de standaardbasis ook wel . Soms wordt ook de notatie gebruikt: wijst volgens de x-as, volgens de y-as en volgens de z-as; alle drie hebben ze de lengte 1.

Gelijkheid[bewerken]

Van twee vectoren zegt men dat deze gelijk zijn als ze dezelfde grootte en richting hebben.[2] Sommige mensen, onder andere in Vlaanderen, verstaan onder richting de stand van de lijn waarop de vector getekend wordt. Wat in het ene spraakgebruik een tegengestelde richting wordt genoemd, is in het andere dezelfde richting, maar tegengestelde zin.

Equivalent is: van twee vectoren zegt men dat deze gelijk zijn als ze dezelfde coördinaten hebben. Twee vectoren

en

zijn dus gelijk dan en slechts dan als

Optellen van vectoren[bewerken]

Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening in een vlak waar beide inliggen, de zogenoemde parallellogramregel:

Vectorsom met parallellogram.png

Om te construeren, tekent men en zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in hetzelfde punt waar en beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, bekomt men een voorstelling van .

Som van meerdere vectoren[3]

Er bestaat ook een andere manier om te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat voorstelt, gaat van P naar Q, teken je zo dat het pijltje dat voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector . De volgende afbeelding illustreert dit:

Vectorsom met driehoek.png

Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:

Deze manier is ook toepasbaar bij meerdere vectoren.

De verschilvector van de vectoren a en b

Verschil van vectoren[bewerken]

Het verschil van de vectoren en is gedefinieerd als , waarin de tegengestelde vector van is, dat wil zeggen de vector met dezelfde grootte als , maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).

Vermenigvuldiging van een vector met een scalair[bewerken]

Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalair product (zie verder).

Om het verschil tussen getallen en vector aan te duiden, noemt men een getal ook wel een "scalair": de componenten van een vector zijn scalairen. Wanneer men een vector vermenigvuldigt met een scalair , krijgt men een nieuwe vector . De grootte van is en de richting is gelijk aan die van als , en wordt omgekeerd als . In het bovengenoemde "Vlaamse spraakgebruik" is de richting van steeds dezelfde als die van , maar de zin blijft behouden als , en wordt omgekeerd als . De volgende afbeelding illustreert de begrippen:

Skalaire vermenigvuldiging.png

Hierbij is gelijk aan . Als ten opzichte van een bepaalde basis, zal, ten opzichte van diezelfde basis, .

Norm van een vector[bewerken]

De lengte, grootte of norm van de vector wordt aangeduid door of, minder gebruikelijk, met . De norm van een vector dient niet te worden verward met de absolute waarde (een scalaire "norm").

Deze correspondeert met het gewone afstandsbegrip, de euclidische afstand, het afstandsbegrip bepaald door het inproduct van vectoren (zie onder). De norm van de vector kan worden berekend met:

wat een gevolg is van de stelling van Pythagoras aangezien de basisvectoren orthogonale eenheidsvectoren zijn.

Inwendig product[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie inwendig product voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het inwendig product (ook wel inproduct, scalair product of dot product genoemd) van twee vectoren en zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt namelijk:

,

waarin de hoek tussen en is. Soms wordt deze formule als definitie genomen en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als definitie wel gehanteerd:

,

waarin en .

De hoek tussen de vectoren en is dan:

.

Als minstens een van beide vectoren de nulvector is, is het inwendig product nul en de hoek onbepaald.

Kruisproduct[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie kruisproduct voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor twee vectoren en in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte bestaat ook het kruisproduct (ook wel vectorproduct, uitproduct, uitwendig product of vectorieel product genoemd)

.

Het kruisproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een grootte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de beide vectoren, en de richting (of zin) volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).

Uitgedrukt in de coördinaten van en luidt het kruisproduct:

.

Merk op dat het kruisproduct niet commutatief is, maar anticommutatief:

.

Eenheidsvector[bewerken]

De normalisering van een vector in een eenheidsvector
1rightarrow blue.svg Zie eenheidsvector voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een eenheidsvector is een vector met een norm gelijk aan 1. Eenheidsvectoren worden vooral gebruikt om een richting aan te geven. Een vector met willekeurige norm ongelijk aan 0 kan worden gedeeld door zijn norm om zo een eenheidsvector te creëren. Dit proces staat bekend als het normaliseren van een vector. Een eenheidsvector wordt wel aangeduid met een dakje, zoals in of ook door .

Om een vector te normaliseren deelt men de vector door zijn lengte :

Nulvector[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie nulvector voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De nulvector is de vector met lengte nul. In de driedimensionale euclidische ruimte is het de vector met alle coördinaten gelijk aan 0, dus de vector (0,0,0). De nulvector wordt algemeen aangeduid met , met 0, of ook gewoon met 0. In tegenstelling tot enige andere vector, heeft de nulvector geen richting en kan niet worden genormaliseerd (dat wil zeggen dat er geen eenheidsvector is, die een veelvoud is van de nulvector). De som van de nulvector en enige vector is zelf, dat wil zeggen dat .

Vectoren in de natuurkunde[bewerken]

In de natuurkunde wordt onderscheid gemaakt tussen "scalaire grootheden" en "vectoriële grootheden". Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een vectoriële grootheid wel. Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde zijn: massa, volume, temperatuur, traagheidsmoment, elektrische potentiaal, zwaartekrachtspotentiaal.

Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:

In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar in elk punt een vector staat die een verschillende grootte, maar ook een verschillende richting kan hebben. Voorbeelden zijn:

Bij de meeste vectoren in de natuurkunde is de grootte (norm, zie boven) niet een getal, maar uit te drukken als een getal met een eenheid.

Vectorruimten in het algemeen[bewerken]

In de context van de lineaire algebra is een vector een element van een vectorruimte.

Boven is het geval van de driedimensionale euclidische ruimte behandeld. De tweedimensionale euclidische ruimte gaat analoog, behalve dat er geen kruisproduct is.

Bij een vectorruimte over een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) of over het lichaam (Nederlandse term; in België: veld) van de complexe getallen hebben vectoren geen grootte en richting. Het is ook moeilijk om van deze vectoren een tekening te maken.

Zie ook[bewerken]