Vectorruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging, hier geïllustreerd voor een zeer eenvoudige vectorruimte, het platte (Euclidische) vlak: een vector v (blauw) wordt opgeteld bij een andere vector w (rood, bovenste afbeelding). In de onderste afbeelding wordt w met een factor 2 uitgerekt, wat de som v + 2 w oplevert.

Een vectorruimte (ook lineaire ruimte genoemd) is een centraal begrip in de lineaire algebra. Een vectorruimte is een wiskundige structuur, die wordt gevormd door een verzameling vectoren: wiskundige objecten die kunnen worden opgeteld door middel van vectoroptelling en die kunnen worden vermenigvuldigd ("geschaald") door getallen, die in deze context scalairen worden genoemd. Vaak zijn de scalairen reële getallen, maar men kan vectorruimten beschouwen waarin de scalairen complexe getallen, rationale getallen of heel algemeen elementen van een willekeurig veld (Belgisch) of lichaam (Nederlands) zijn. De operaties van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging moeten aan bepaalde eisen voldoen, de zogenaamde axioma's (zie onder voor een lijst). Een voorbeeld van een vectorruimte is de Euclidische ruimte, die vaak wordt gebruikt om natuurkundige grootheden, zoals krachten weer te geven: elke twee krachten (van hetzelfde type) kunnen worden opgeteld met als resultaat een derde kracht, en de scalaire vermenigvuldiging van een krachtvector met een reële factor is opnieuw een andere krachtvector. In dezelfde geest, maar in meer meetkundige taal, vormen vectoren, die verplaatsingen in het vlak of in de driedimensionale ruimte weergeven, ook vectorruimten.

Vectorruimten vormen een belangrijk onderwerp van studie binnen de lineaire algebra, en zijn vanuit dit oogpunt ook goed te begrijpen, omdat vectorruimten worden gekenmerkt door hun dimensie, die - grosso modo - het aantal onafhankelijke richtingen in de ruimte specifieert. De theorie wordt verder verrijkt door aan een vectorruimte extra structuur, zoals een norm of een inwendig product, toe te kennen. Zulke vectorruimten komen van nature voor in de wiskundige analyse, vooral in de gedaante van oneindig-dimensionale functieruimten waarvan de vectoren functies zijn. Analytische problemen vragen om het vermogen te kunnen bepalen of een rij vectoren naar een bepaalde vector convergeert. Het antwoord op deze vraag kan worden gegeven door vectorruimten met aanvullende gegevens te bestuderen, meestal vectorruimten, die zijn uitgerust met een gepaste topologie, die het mogelijk maakt om zaken als nabijheid en continuïteit in beschouwing te nemen. Dit soort verrijkte topologische vectorruimten, met name Banachruimten en Hilbertruimten, hebben een rijkere theorie.

Historisch gesproken kunnen de eerste ideeën die hebben geleid tot vectorruimten, teruggevoerd worden tot de 17e-eeuwse analytische meetkunde, matrices, stelsels van lineaire vergelijkingen en Euclidische vectoren. De moderne, meer abstracte behandeling werd in de late 19e eeuw voor het eerst door Giuseppe Peano geformuleerd en omvat meer algemene objecten dan de Euclidische ruimte. Veel van de theorie kan worden gezien als een uitbreiding van de klassieke meetkundige ideeën, zoals lijnen, vlakken en hun hogerdimensionale analoga.

Vandaag de dag vindt men vectorruimten door de gehele wiskunde, natuurwetenschappen en techniek heen. Vectorruimten vormen het geschikte lineair algebraïsche begrip om met stelsels van lineaire vergelijkingen om te gaan. Ook bieden zij een raamwerk voor de Fourierreeksen die worden gebruikt in algoritmen voor beeldcompressie, en bieden zij een omgeving die kan worden gebruikt voor oplossingstechnieken voor partiële differentiaalvergelijkingen. Bovendien leveren vectorruimten een abstracte, coördinaten-vrije manier van omgaan met meetkundige en natuurkundige objecten, zoals tensoren, die op hun beurt het onderzoek van de lokale eigenschappen van variëteiten door linearisatietechnieken toestaan. Het begrip vectorruimte kan ook in verschillende richtingen worden veralgemeend, wat leidt tot geavanceerde begrippen in de meetkunde en de abstracte algebra.

Definitie[bewerken]

Een vectorruimte over een lichaam (Nederlandse term, in België veld genoemd) K is een verzameling van elementen aangeduid als vectoren, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een optelling van twee vectoren, en een scalaire vermenigvuldiging van een scalair (een element uit K) met een vector. Deze bewerkingen moeten voldoen aan een aantal voorwaarden. Als we de optelling noteren met "+", de scalaire vermenigvuldiging met "*", drie (al dan niet verschillende) willekeurige vectoren uit V met u, v en w en twee willekeurige scalairen uit K met a en b, zijn deze voorwaarden:

Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

  1. v + w is weer een vector uit V
    V is gesloten onder de optelling van vectoren
  2. u + (v + w) = (u + v) + w
    De optelling van vectoren is associatief.
  3. Er bestaat een element 0 uit V zodat voor alle vectoren v uit V geldt dat 0 + v = v = v + 0.
    0 wordt het neutraal element of ook de nulvector genoemd ("het neutraal element" omdat men kan aantonen dat het uniek is).
  4. Voor alle vectoren v bestaat er een vector -v zodat v + (-v) = 0
    -v noemt men het inverse element of de tegengestelde vector van v.
  5. v + w = w + v
    De optelling van vectoren is commutatief.
  6. a * v is weer een vector uit V.
    V is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging.
  7. a * (b * v) = (ab) * v
    De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief.
  8. Als 1 het eenheidselement is van K, dan zal 1 * v = v.
    Het eenheidselement uit K is neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging.
  9. a * (v + w) = a * v + a * w
    Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van vectoren.
  10. (a + b) * v = a * v + b * v
    Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van scalairen. Merk op dat met "a + b" de optelling van twee scalairen in K wordt bedoeld. Dit is niet dezelfde optelling als de optelling die bij "v + w" gebruikt wordt om in V twee vectoren "op te tellen".

De eigenschappen 1 t/m 5 impliceren dat V een abelse of commutatieve groep is onder de optelling. Door K te vervangen door een willekeurige ring R, krijgen we de definitie van een R-moduul; een vectorruimte is dus eigenlijk een speciaal soort moduul.

Veel gebruikte vectorruimten zijn die waarin K gelijk is aan \mathbb{R} (de reële getallen) of \mathbb{C} (de complexe getallen); V heet dan een reële respectievelijk complexe vectorruimte. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is heet een genormeerde vectorruimte.

Voortbrengend deel, vrij deel, basis en dimensie[bewerken]

Men zegt dat een verzameling vectoren A een voortbrengend deel, van een vectorruimte V is als V de kleinste vectorruimte is die A bevat. Dit houdt niet alleen in dat V alle lineaire combinaties van vectoren uit A bevat, maar ook dat alle vectoren in V lineaire combinaties zijn van vectoren uit A.

Het stelsel vectoren \scriptstyle B=\{b_1,b_2,\ldots,b_n\} \! heet een vrij deel als de vectoren uit B lineair onafhankelijk zijn, dus dat:

\sum_{i=1}^{n}c_i b_i = 0 \Rightarrow \forall i: c_i=0.

Dit wil zeggen dat de enige lineaire combinatie van b's die nul oplevert, de combinatie is met alle coëfficiënten nul. Het gevolg is dat verschillende lineaire combinaties van b's ook verschillende vectoren voorstellen.

Een basis van V is een deelverzameling die zowel een voortbrenger van V is als een vrij deel in V. Men kan (met behulp van het keuzeaxioma) aantonen dat elke vectorruimte een basis heeft. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling van vectoren waarmee je de hele vectorruimte kan opbouwen (door het nemen van scalaire vermenigvuldigingen en vectorsommen). In een gegeven vectorruimte V kan een basis op verschillende manieren gekozen worden maar het aantal vectoren (kardinaliteit) in een basis van V is altijd gelijk.

De kardinaliteit van de basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Intuïtief beschouwd is de dimensie van een vectorruimte het aantal richtingen waarin de vectoren kunnen variëren.

Deelruimte[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Lineaire deelruimte voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een deelruimte (ook lineaire deelruimte genoemd) is een deelverzameling van een vectorruimte die zelf ook weer een vectorruimte over hetzelfde lichaam is. Elke vectorruimte bevat twee triviale deelruimtes: zichzelf en ook de kleinst mogelijke deelruimte, die alleen uit de nulvector bestaat.

Geschiedenis[bewerken]

Het begrip vectorruimte vloeit conceptueel voort uit de affiene meetkunde, via de introductie van coördinaten in het vlak of in de gebruikelijke driedimensionale ruimte. Rond 1636 legden de Franse wiskundigen Descartes en Fermat de basis voor de analytische meetkunde door de oplossingen van een vergelijking met twee variabelen te koppelen aan de bepaling van een tweedimensionale kromme.

Om tot een meetkundige oplossing te komen zonder gebruik te maken van coördinaten, introduceerde Bernard Bolzano in 1804 bepaalde operaties op punten, lijnen en vlakken die als voorlopers van vectoren kunnen worden gezien.[1] Dit werk werd beschouwd in het concept van de barycentrische coördinaten van August Ferdinand Möbius in 1827.[2] De beslissende stap in de definitie van vectoren was Bellavitis' definitie van het bipunt: een richtinggevend segment waarvan een van de uiteinden de oorsprong is en de ander het doel.

Vectorruimten werden in een nieuw licht geplaatst door de introductie van het complexe vlak door Jean-Robert Argand en William Rowan Hamilton en de introductie van quaternionen en biquaternionen door de laatstgenoemde; het betreft elementen van respectievelijk R2 R4 en R8. De opvatting als lineaire combinatie gaat terug tot Laguerre in 1867, die in dat jaar stelsels van lineaire vergelijkingen definieerde.

In 1857 introduceerde Cayley zijn matrixnotatie die het mogelijk maakte de notatie van lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten te harmoniseren en te vereenvoudigen.

Tegelijkertijd bestudeerde Grassmann de barycentrische calculus die was geïnitieerd door Möbius, die verzamelingen van abstracte objecten, uitgerust met operaties, beschouwde [3] Zijn werk overstijgt het raamwerk van de vectorruimten, aangezien zijn invoering van vermenigvuldiging hem naar het concept van algebra's leidde. Toch zijn de begrippen dimensie en lineaire onafhankelijkheid aanwezig, evenals het scalair product (1844). Het primaat van deze ontdekkingen werd door Cauchy betwist in diens publicatie Sur les clefs algébriques.

De Italiaanse wiskundige Peano, een van wiens belangrijke bijdragen de strenge axiomatisering van bestaande concepten is geweest, met name de constructie van verzamelingen, was een van de eersten die rond het einde van de 19de eeuw met de moderne definitie van vectorruimten werkten.[4]

Een belangrijke ontwikkeling van dit concept is te danken aan de constructie van functieruimten door Henri Lebesgue. Dit werd later geformaliseerd door David Hilbert en Stefan Banach (in diens proefschrift uit 1920).

Op dit moment begonnen de algebra en het nieuwe terrein van de functionaalanalyse op elkaar in te werken, met name met belangrijkste concepten zoals ruimten van p-integreerbare functies en Hilbertruimten. Ook werden in die tijd de eerste studies naar oneindig-dimensionale vectorruimten uitgevoerd.

Voorbeelden[bewerken]

Coördinaten- en functieruimten[bewerken]

Het eerste voorbeeld van een vectorruimte over een veld F is het veld zelf uitgerust met zijn standaard operaties van optellen en vermenigvuldigen. Dit is het geval n = 1 van een vectorruimte, die meestal wordt aangeduid door Fn, en die bekendstaat als de coördinatenruimte, waarvan de elementen n-tupels (rijen van lengte n) zijn:

(a1, a2, ..., an), waar de ai elementen van F zijn.[5]

Het geval dat F = R en n = 2 werd reeds in de inleiding hierboven besproken. Oneindige coördinatenrijen en meer in het algemeen functies van elke vaste verzameling Ω naar een veld F vormen ook vectorruimten, door de optelling en de scalaire vermenigvuldiging puntsgewijze uit te voeren. Dat wil zeggen dat de som van twee functies ƒ en g wordt gegeven door

(ƒ+ g)(w) = ƒ(w) + g(w)

en hetzelfde geldt voor vermenigvuldiging. Zulke functieruimten komen in vele meetkundige situaties voor, bijvoorbeeld wanneer Ω de reële lijn, een interval, of andere deelverzamelingen van Rn voorstelt. Veel begrippen uit de topologie en de analyse, zoals continuïteit, integreerbaarheid of differentieerbaarheid gedragen zich goed met betrekking tot de lineariteit: optellingen en scalaire veelvoud van functies, die een dergelijk eigenschap bezitten, beschikken na optelling en scalaire vermenigvuldiging nog steeds over deze eigenschap.[6] Daarom bestaat de verzameling van dergelijke functies uit vectorruimten. Zij worden meer in detail bestudeerd door gebruik te maken van de methoden uit de functionaalanalyse, Algebraïsche beperkingen leveren ook vectorruimten op: de vectorruimte F[x] wordt gegeven door polynomiale functies:

ƒ(x) = r0 + r1x + ... + rn−1xn−1 + rnxn, waar de coëfficiënten r0, ..., rn in F zijn.[7]

Lineaire vergelijkingen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Lineaire vergelijking en Stelsel van lineaire vergelijkingen voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

Systemen van homogene lineaire vergelijkingen zijn nauw gerelateerd aan vectorruimten.[8] De oplossingen van

a + 3b + c = 0
4a + 2b + 2c = 0

worden bijvoorbeeld gegeven door tripletten met willekeurige a, b = a/2 en c = -5a/ 2. Zij vormen een vectorruimte: optellingen en scalaire veelvouden van zulke tripletten voldoen steeds aan dezelfde ratio's van de drie variabelen; dus zijn zij oplossingen voor dit stelsel van vergelijkingen. Om meerdere lineaire vergelijkingen. zoals hierboven, te condenseren in een vectorvergelijking, kan men gebruik maken van matrices, namelijk

Ax = 0,

waar A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
4 & 2 & 2\end{bmatrix} de matrix is, die de coëfficiënten van de gegeven vergelijkingen bevat, x de vector a, b, c is, Ax het matrixproduct aanduidt en 0 = (0, 0) de nulvector is. Op een soortgelijke wijze vormen de oplossingen van homogene lineare differentiaalvergelijkingen vectorruimten. Bijvoorbeeld

ƒ''(x) + 2ƒ'(x) + ƒ(x) = 0

levert ƒ(x) = a ex + bx ex op, waar a en b willekeurige constanten zijn en ex de natuurlijke exponentiële functie is.

Velduitbreidingen[bewerken]

Velduitbreidingen F / E ("F over E") geven een andere klasse van voorbeelden van vectorruimten, met name in de algebra en de algebraïsche getaltheorie: een veld F met een kleiner veld E wordt onder de gegeven vermenigvuldiging en optellingsoperaties van F een E-vectorruimte.[9] De complexe getallen zijn bijvoorbeeld een vectorruimte over R. Een bijzonder interessant type velduitbreiding in de getaltheorie is Q(α), de uitbreiding van de rationale getallen Q met een gegeven complex getal α. Q(α) is het kleinste veld dat de rationale en een gegeven complex getal α bevat. De dimensie als een vectorruimte over Q is afhankelijk van de keuze van α.

Uitbreidingen[bewerken]

Een moduul is een algebraïsche structuur die erg lijkt op een vectorruimte. Een moduul is echter gedefinieerd over een ring, in plaats van over een lichaam (Ned. term; Belgisch: veld). Bij een moduul eist men dus niet dat K een lichaam (Ned. term) is, maar wel dat K een ring is. Elke vectorruimte is dus een moduul en alle eigenschappen van modulen gelden ook voor vectorruimten.

Voetnoten[bewerken]

  1. Bolzano, Bernard, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie, 1804
  2. Möbius, August Ferdinand, Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie, zie hier, 1827
  3. Grassmann, Hermann, Extension Theory, American Mathematical Society, Providence, R.I., isbn=978-0-8218-2031-5, 20002000
  4. Peano, Giuseppe, Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, 1888
  5. Lang, Serge (1987), hoofdstuk I.1
  6. Lang, Serge, (1993), hoofdstuk XII.3., blz. 335
  7. Lang, Serge (1987), hoofdstuk IX.1
  8. Lang, Serge, (1987) hoofdstuk VI.3.
  9. Lang, Serge, (2002), hoofdstuk V.1

Referenties[bewerken]

Lineaire algebra[bewerken]

Analyse[bewerken]

Historische referenties[bewerken]

  • (fr) Stefan Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) zie hier, Fundamenta Mathematicae, ISSN 0016-2736, vol 3, 1922
  • (de) Bernard Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) zie hier, 1804
  • (de) Hermann Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik, zie hier, O. Wigand, 1844
  • (de) August Ferdinand Möbius, Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) zie hier, 1827
  • (it) Giuseppe Peano, Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, Turijn, 1888