Coördinatenruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte het n-voudige Cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) . De coördinatenruimte bestaat uit de n-tupels (rijtjes van n elementen) van , en analoog voor n gelijk aan oneindig. Een coördinatenruimte is het prototypische voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

Definitie[bewerken]

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) (zoals de reële getallen R of de complexe getallen C) en natuurlijk getal n wordt de ruimte van alle n-tupels van elementen van de n-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

De coördinatenruimte is een n- dimensionale vectorruimte over .

Een element van wordt geschreven als het rijtje

waarin elke een element is van .

Optelling en scalaire vermenigvuldiging op zijn gedefinieerd door

en

De nulvector is

en de additieve inverse van de vector wordt gegeven door

Matrixnotatie[bewerken]

De elementen van de coördinatenruimte worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

of soms als rijvectoren:

De coördinatenruimte kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle n×1-kolomvectoren of alle 1×n-rijvectoren, uitgerust met de gewone matrixoperaties van optellen en scalaire vermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van naar kunnen dan worden geschreven als m×n-matrices, die via linkervermenigvuldiging (wanneer de elementen van kolomvectoren zijn) of rechtervermenigvuldiging (als het rijvectoren zijn) inwerken op de elementen van .

Standaardbasis[bewerken]

De coördinatenruimte heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

waarin 1 de multiplicatieve identiteit in aanduidt.

Isomorfie[bewerken]

Alle n-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn met elkaar isomorf.

Zie ook[bewerken]