Coördinatenruimte

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte $F^{n}$ het $n$-voudige cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) $F$. De coördinatenruimte $F^{n}$ bestaat uit de $n$-tupels, dus rijen van $n$ elementen, van $F$. De rijen van aftelbaar oneindig veel elementen van $F$ vormen ook een coördinatenruimte. Een coördinatenruimte is het voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

De reële coördinatenruimte $\mathbb {R} ^{n}$ is een voorbeeld van een coördinatenruimte.

Definitie

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) $F$, zoals de reële getallen $\mathbb {R}$ of de complexe getallen $\mathbb {C}$ en natuurlijk getal $n$ wordt de ruimte $F^{n}$ van alle $n$-tupels van elementen van $F$ de n-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

Deze coördinatenruimte is een $n$-dimensionale vectorruimte over $F$. Een element $\mathbf {x}$ van $F$ is een rij

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$,

waarin elke $x_{i}$ een element is van $F$. De $n$ elementen $x_{i}$ heten de kentallen van de vector $\mathbf {x}$. De $n$ vectoren $x_{i}\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,x_{i},0,\ldots ,0)$, waarin $\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ de $i$-de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van $\mathbf {x}$. Een vector is de som van de componenten ervan:

$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}$

Optellen en scalair vermenigvuldigen op $F^{n}$ zijn gedefinieerd door

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

en

$\alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})$

De nulvector is

$\mathbf {0} =(0,0,\cdots ,0)$

en de additieve inverse van de vector $\mathbf {x}$ wordt gegeven door

$-\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\cdots ,-x_{n})$

Alle $n$-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn isomorf met elkaar.

Matrixnotatie

De elementen van de coördinatenruimte $F^{n}$ worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$

of soms als rijvectoren:

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{bmatrix}}$

De coördinatenruimte $F^{n}$ kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle $n\times 1$-kolomvectoren of alle $1\times n$-rijvectoren, met daarbij de bewerkingen van optellen van matrices en de matrixvermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van $F^{n}$ naar $F^{m}$ kunnen dan worden geschreven als $m\times n$-matrices, die via linkervermenigvuldiging, wanneer de elementen van $F^{n}$ kolomvectoren zijn, of rechtervermenigvuldiging, als het rijvectoren zijn, inwerken op de elementen van $F^{n}$.

Standaardbasis

De coördinatenruimte $F^{n}$ heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

$\mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)$

$\mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)$

$\vdots$

$\mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)$

waarin 1 de neutrale element voor de vermenigvuldiging in $F$ aanduidt.