Lineaire transformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lineaire transformatie een lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf. Om te transformeren wordt hiervoor een transformatiematrix gebruikt (ook wel: transformatrix[bron?]).

Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. In dat geval is de inverse ook een lineaire transformatie.

Eindigdimensionale geval[bewerken]

Een lineaire transformatie wordt geheel vastgelegd door de beelden van een basis[bewerken]

Een lineaire transformatie van een n-dimensionale vectorruimte wordt vastgelegd door de beelden van een geordende basis van . Een willekeurige vector wordt immers afgebeeld op:

.

Matrix van een lineaire transformatie[bewerken]

Door de keuze van een geordende basis in wordt een vector bepaald door de coördinaten ten opzichte van deze basis:

.

De lineaire transformatie wordt bepaald door de beelden van de basisvectoren:

.

De transformatie wordt dus vastgelegd door de getallen (de matrix) .

Het beeld van onder heeft de coördinaten :

.

Er geldt dus:

,

zodat:

.

Dit komt neer op de matrixvermenigvuldiging van de kolomvector van de de coördinaten van met de matrix , met als resultaat de kolomvector van de coördinaten van :

.

Uitgeschreven ziet dat er zo uit:

,

waarin . De matrix die de transformatie representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.

Voorbeeld[bewerken]

De lineaire transformatie van de vectorruimte beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) af op de vectoren (3,2) en (5,4). Daarmee is geheel vastgelegd. De matrix van is dan

.

Het beeld van bijvoorbeeld de vector heeft dan de coördinaten:

.

Dus is .

Determinant, rang en nulruimte[bewerken]

Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. De determinant van de matrix van de transformatie is dan ongelijk 0 en de matrix heeft volle rang, wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn.

Als de transformatie niet inverteerbaar is, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren brengen dan een deelruimte voort van geringere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of kern van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.

Lineaire transformaties van het vlak[bewerken]

Lineaire transformaties van de , kunnen beschreven worden door een 2x2-matrix . Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van , als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:

De identiteit[bewerken]

Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld.

.

Rotatie[bewerken]

Een rotatie van 90° tegen de klok in:

Een rotatie over een hoek tegen de klok in:

.

Spiegeling[bewerken]

Spiegeling om de x-as:

.

Schaling[bewerken]

Een homothetie met factor 2:

.

Een schaling met een factor in de horizontale richting en een factor in de verticale richting:

.

Afschuiving[bewerken]

Horizontale afschuiving:

.

Samendrukking[bewerken]

Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken (met factor k > 1):

.

Projectie[bewerken]

Projectie op de y-as:

Bewerkingen met lineaire transformaties[bewerken]

Som van twee lineaire transformaties[bewerken]

Als en lineaire transformaties zijn van een vectorruimte , is hun som , die gedefinieerd is door

,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van is de matrix van gelijk aan de som van de matrices en van respectievelijk en :

.

Product van een lineaire transformatie met een reëel getal[bewerken]

Als een lineaire transformaties is van een vectorruimte en en een reëel getal, dan is het scalaire product , dat gedefinieerd is door

,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van is de matrix van gelijk aan het scalaire product van en de matrix van :

.

Samenstelling van lineaire transformaties[bewerken]

Als en lineaire transformaties zijn van een vectorruimte , dan hun samenstelling , die gedefinieerd is door

,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van is de matrix van gelijk aan het matrixproduct van de matrices en van respectievelijk en :

.

Eigenwaarden en eigenvectoren van een lineaire transformatie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Eigenwaarde (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Onder de bijectieve transformaties van een lineaire ruimte zijn er die een deelruimte op zichzelf afbeelden. Als eendimensionaal is, heet elke vector een eigenvector van de transformatie. De eigenvector wordt afgebeeld op een veelvoud van . De factor heet eigenwaarde van de transformatie.

Eigenschappen[bewerken]

  • De verzameling van de eigenvectoren van een lineaire transformatie die behoren tot dezelfde eigenwaarde, vormen samen met de nulvector een deelruimte van de vectorruimte V. Die ruimte heet de eigenruimte behorend bij de eigenwaarde.

Eindigdimensionale geval:

  • Als een lineaire transformatie van een n-dimensionale ruimte, n verschillende eigenwaarden heeft, vormen de eigenvectoren corresponderend met die eigenwaarden een basis van V.
  • Als er in een vectorruimte een basis is bestaande uit eigenvectoren, dan is de matrix van die lineaire transformatie, ten opzichte van die basis, een diagonaalmatrix.

Lineaire permutaties[bewerken]

Als een lineaire transformatie t van een vectorruimte V een basis van V transformeert in een basis van V, dan spreekt men van een lineaire permutatie van V. Onder invloed van t worden verschillende vectoren afgebeeld op verschillende vectoren en lineair onafhankelijke vectoren op lineair onafhankelijke vectoren.
De verzameling van alle lineaire permutaties van V vormen een groep, de algemene lineaire groep van een vectorruimte V. Gewoonlijk wordt die groep genoteerd als GL(V).

Eindigdimensionale geval:

De matrix A van een lineaire permutatie is regulier en de kern bestaat enkel uit de nulvector.