Spiegeling (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Spiegeling van een driehoek om een lijn in het platte vlak

De spiegeling is een afbeelding uit de meetkunde. In de wiskunde is het een voorbeeld van een affiene transformatie. Het beeld van een voorwerp V onder de spiegeling heet het spiegelbeeld van V. Links en rechts draaien onder de spiegeling om. Men zegt dat de oriëntatie van het voorwerp van teken wisselt.

Spiegeling in een n-dimensionale ruimte gebeurt met een n-1-dimensionale deelruimte als spiegel. Dus in het platte vlak spiegelt men in een lijn (de spiegellijn), deze spiegeling wordt wel lijnspiegeling genoemd, en in de ruimte spiegelt men in een vlak (het spiegelvlak), deze spiegeling wordt wel vlakspiegeling genoemd.

Met een vlakke spiegel kan men de spiegeling van een figuur (tot aan de spiegel) of voorwerp daadwerkelijk zien. Een formele spiegeling van een voorwerp heeft echter ook betrekking op inwendige, onzichtbare delen.

Definitie[bewerken]

Noem P' het spiegelbeeld van een punt P in de spiegel s. Om een punt P te spiegelen zoekt men allereerst het punt Q op de spiegel, dat de loodrechte projectie van P op de spiegel is. Vervolgens trekt men het lijnstuk PQ nog een keer door aan de andere kant van de spiegel om te eindigen in het beeld P' . P' is het punt waarvoor geldt dat d(P,P') = 2d(P,s) = 2d(s,P'), met d de afstand.

Eigenschappen[bewerken]

  • Als U een punt op de spiegel is geldt dat U'=U.
  • Voor alle punten geldt (P')'=P.
  • Een figuur wordt afgebeeld op een congruente figuur.

Spiegelen in deelruimtes met lagere dimensie[bewerken]

Eenzelfde soort afbeelding als hierboven beschreven kan ook worden gedaan met een spiegel van lagere dimensie. Bij een spiegeling in een n-dimensionale ruimte met een n-2-dimensionale deelruimte als spiegel, zoals spiegeling in een 2-dimensionale ruimte met een punt als spiegel, en spiegeling in een 3-dimensionale ruimte met een lijn als spiegel, verandert het beeld van een figuur nu niet van oriëntatie (de voorbeelden zijn equivalent met rotaties). Bij een spiegeling in een n-dimensionale ruimte met een n-3-dimensionale deelruimte als spiegel, zoals spiegeling in een 3-dimensionale ruimte met een punt als spiegel verandert het beeld van een figuur weer wel van oriëntatie.

Puntspiegeling[bewerken]

Puntspiegeling (in termen van positievectoren t.o.v. het punt is dit het nemen van het tegengestelde van elke vector) wordt ook wel inversie genoemd. Zoals gezegd verandert deze in 1D en 3D de oriëntatie, maar niet in 2D. Puntspiegeling is commutatief met elke draaiing om een as door het punt en spiegeling ten opzichte van elk vlak door het punt. Dit is eenvoudig in te zien als men denkt aan het gebruik van matrixnotatie voor deze bewerkingen: de matrix voor inversie is het tegengestelde van de eenheidsmatrix.

Spiegeling in de natuurkunde[bewerken]

Spiegeling van een (vrije) vector in een vlak hangt alleen af van de stand van het vlak, niet van de positie ervan.

Spiegeling van een vectorveld in een vlak houdt in dat zowel de locatie (de onafhankelijk variabele) als de vectorwaarden van de functie gespiegeld worden. Spiegeling in een vlak van een natuurkundige situatie levert in zoverre een bestaanbare situatie op dat bepaalde vectoren niet alleen moeten worden gespiegeld maar dat de resulterende vector ook nog moet worden veranderd in zijn tegengestelde. Dit geldt als linker- en rechterhandregels aan de orde zijn, bijvoorbeeld voor impulsmoment, lorentzkracht, magnetische fluxdichtheid en magnetische veldsterkte. Bij een grootheid die wordt uitgedrukt door een formule is een linker- of rechterhandregel aan de orde als er een kruisproduct in voorkomt, of als een normaalvector wordt geassocieerd met de richting waarin bij een kringintegraal de kromme wordt doorlopen.

Zie ook[bewerken]