Spiegeling (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Spiegeling van een driehoek om een lijn in het platte vlak

De spiegeling is een afbeelding uit de meetkunde. In de wiskunde is het een voorbeeld van een affiene transformatie. Het beeld van een voorwerp V onder de spiegeling heet het spiegelbeeld van V. Links en rechts draaien onder de spiegeling om. Men zegt dat de oriëntatie van het voorwerp van teken wisselt.

Spiegeling in een n-dimensionale ruimte gebeurt met een n-1-dimensionale deelruimte als spiegel. Dus in het platte vlak spiegelt men in een lijn, deze spiegeling wordt wel lijnspiegeling genoemd, en in de ruimte spiegelt men in een vlak, deze spiegeling wordt wel vlakspiegeling genoemd.

Definitie[bewerken]

Noem P' het spiegelbeeld van een punt P in de spiegel s. Om een punt P te spiegelen zoekt men allereerst het punt Q op de spiegel, dat de loodrechte projectie van P op de spiegel is. Vervolgens trekt men het lijnstuk PQ nog een keer door aan de andere kant van de spiegel om te eindigen in het beeld P' . P' is het punt waarvoor geldt dat d(P,P') = 2d(P,s) = 2d(s,P'), met d de afstand.

Eigenschappen[bewerken]

  • Als U een punt op de spiegel is geldt dat U'=U.
  • Voor alle punten geldt (P')'=P.
  • Een figuur wordt afgebeeld op een congruente figuur.

Spiegelen in deelruimtes met lagere dimensie[bewerken]

Eenzelfde soort afbeelding als hierboven beschreven kan ook worden gedaan met een spiegel van lagere dimensie. Bij een spiegeling in een n-dimensionale ruimte met een n-2-dimensionale deelruimte als spiegel, zoals spiegeling in een 2-dimensionale ruimte met een punt als spiegel, en spiegeling in een 3-dimensionale ruimte met een lijn als spiegel, verandert het beeld van een figuur nu niet van oriëntatie (de voorbeelden zijn equivalent met rotaties). Bij een spiegeling in een n-dimensionale ruimte met een n-3-dimensionale deelruimte als spiegel, zoals spiegeling in een 3-dimensionale ruimte met een punt als spiegel verandert het beeld van een figuur weer wel van oriëntatie.

Puntspiegeling[bewerken]

Puntspiegeling (in termen van positievectoren t.o.v. het punt is dit het nemen van het tegengestelde van elke vector) wordt ook wel inversie genoemd. Zoals gezegd verandert deze in 1D en 3D de oriëntatie, maar niet in 2D. Puntspiegeling is commutatief met elke draaiing om een as door het punt en spiegeling ten opzichte van elk vlak door het punt. Dit is eenvoudig in te zien als men denkt aan het gebruik van matrixnotatie voor deze bewerkingen: de matrix voor inversie is het tegengestelde van de eenheidsmatrix.

Zie ook[bewerken]