Congruentie (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een voorbeeld van congruentie: enkel de eerste twee driehoeken zijn congruent, de derde is gelijkvormig met de eerste twee

In de meetkunde worden twee figuren congruent (Lat: congruens, overeenstemmend, passend) genoemd als de ene isometrisch in de andere getransformeerd kan worden, dat wil zeggen: verplaatst kan worden op een manier die de afstanden binnen de figuur bewaart, dus via translatie, rotatie en/of spiegeling. Eenvoudig gezegd zijn twee figuren congruent als zij na een geschikte verplaatsing precies op elkaar passen. Congruente figuren hebben alle eigenschappen gemeen.

Congruente driehoeken[bewerken]

De driehoeken ABC en A'B'C' zijn congruent, notatie  ABC \cong A'B'C', dan en slechts dan als hun drie paar overeenkomstige zijden even lang zijn: AB=A'B', AC=A'C' en BC=B'C'.

Van congruente driehoeken zijn de overeenkomstige hoeken gelijk.

Congruentiekenmerken van driehoeken[bewerken]

Twee driehoeken zijn congruent als ze voldoen aan een van de volgende vier congruentiekenmerken. Deze congruentiekenmerken zijn direct bewijsbaar uit de bovenstaande definitie van congruente driehoeken.

ZZZ (zijde-zijde-zijde)

Twee driehoeken zijn congruent, als elk van de drie zijden van de ene driehoek even lang is als een zijde van de andere driehoek.

ZHZ (zijde-hoek-zijde)

Twee driehoeken zijn congruent als twee zijden van de eerste driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn.

HZH (hoek-zijde-hoek)

Twee driehoeken zijn congruent als een zijde van de ene driehoek even lang is als een zijde van de andere driehoek en de aanliggende hoeken in de ene driehoek gelijk zijn aan de aanliggende hoeken in de andere.

ZHH (zijde-hoek-hoek)

Een direct gevolg van het geval HZH is het geval ZHH. Als twee hoeken van een driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van een andere driehoek, zijn ook de andere hoeken aan elkaar gelijk, aangezien de som van de drie hoeken 180 graden is. Twee driehoeken zijn congruent als in de ene driehoek een zijde even lang is als een zijde van de andere driehoek, een aanliggende hoek in de ene driehoek gelijk is aan een aanliggende hoek in de andere en de beide overstaande hoeken aan elkaar gelijk zijn.

Het geval ZZH betekent niet eenduidig congruentie. Wel als de overeenkomstige hoek recht is:

ZZR (zijde-zijde-rechte hoek)

Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de ene driehoek even lang zijn als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de andere driehoek.

Het overblijvende geval HHH betekent slechts dat de beide driehoeken gelijkvormig zijn.

Overige figuren[bewerken]

Twee cirkels zijn congruent dan en slechts dan als hun stralen gelijk zijn.

Twee vierkanten zijn congruent dan en slechts dan als hun zijden gelijk zijn.

Twee rechthoeken zijn congruent dan en slechts dan als ze gelijke lengtes en breedtes hebben.

Twee regelmatige veelhoeken zijn congruent dan en slechts dan als hun omgeschreven cirkels congruent zijn en hun aantal zijden gelijk is.

Direct congruent[bewerken]

Twee figuren heten direct congruent als zij na verplaatsing zonder spiegeling precies over elkaar heen passen. Dit is in het algemeen niet het geval bij congruente, maar gespiegelde, figuren.

Zie ook[bewerken]