Congruentie (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De eerste twee driehoeken zijn congruent, de derde is alleen gelijkvormig met de eerste twee.

In de meetkunde worden twee figuren congruent (Latijn: congruens, overeenstemmend, passend) genoemd als de ene isometrisch in de andere getransformeerd kan worden, dat wil zeggen verplaatst kan worden op een manier die de afstanden binnen de figuur bewaart. De transformatie mag zijn samengesteld uit een translatie, rotatie en spiegeling. Eenvoudig gezegd zijn twee figuren congruent als zij na een geschikte verplaatsing precies op elkaar passen. Congruente figuren hebben veel eigenschappen gemeen.

Twee meetkundige figuren worden gelijkvormig genoemd wanneer zij in de andere kunnen worden getransformeerd, waarbij behalve de transformaties toegestaan voor twee congruente figuren, ook de vergroting of verkleining vanuit een bepaald punt is toegestaan. Twee congruente figuren zijn dus gelijkvormig, maar het is omgekeerd voor twee meetkundige figuren geen voldoende voorwaarde dat zij gelijkvormig zijn om ook congruent te zijn.

Congruente driehoeken[bewerken | brontekst bewerken]

De driehoeken en zijn congruent, notatie , dan en slechts dan als hun drie paar overeenkomstige zijden even lang zijn: , en . Van twee congruente driehoeken en ' zegt men ook dat driehoek congruent is met driehoek .

De overeenkomstige hoeken van congruente driehoeken zijn gelijk.

Congruentiekenmerken van driehoeken[bewerken | brontekst bewerken]

Twee driehoeken zijn congruent als ze voldoen aan een van de volgende vijf congruentiekenmerken. Deze congruentiekenmerken kunnen direct uit de bovenstaande definitie van congruente driehoeken worden bewezen.

ZZZ zijde-zijde-zijde

Twee driehoeken zijn congruent, als elk van de drie zijden van de ene driehoek even lang is als een zijde van de andere driehoek.

ZHZ zijde-hoek-zijde

Twee driehoeken zijn congruent als twee zijden van de eerste driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn.

HZH hoek-zijde-hoek

Twee driehoeken zijn congruent als een zijde van de ene driehoek even lang is als een zijde van de andere driehoek en de aanliggende hoeken in de ene driehoek gelijk zijn aan de aanliggende hoeken in de andere.

ZHH zijde-hoek-hoek

Een direct gevolg van het geval HZH is het geval ZHH. Als twee hoeken van een driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van een andere driehoek, zijn ook de andere hoeken aan elkaar gelijk, aangezien de som van de drie hoeken 180 graden is. Twee driehoeken zijn congruent als in de ene driehoek een zijde even lang is als een zijde van de andere driehoek, een aanliggende hoek in de ene driehoek gelijk is aan een aanliggende hoek in de andere en de beide overstaande hoeken aan elkaar gelijk zijn.

Het geval ZZH houdt geen eenduidige congruentie in, maar wel als de overeenkomstige hoek recht is.

HZZ congruentie.svg
ZZ90° of ZZR zijde-zijde-rechte hoek

Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de ene driehoek even lang zijn als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de andere driehoek.

Het overblijvende geval HHH houdt alleen in dat de beide driehoeken gelijkvormig zijn.

Overige figuren[bewerken | brontekst bewerken]

Direct congruent[bewerken | brontekst bewerken]

Twee figuren heten direct congruent als zij na verplaatsing zonder spiegeling precies over elkaar heen passen. Dit is in het algemeen niet het geval bij gespiegelde, congruente figuren.