Isometrie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een isometrie of isometrische afbeelding een functie die twee metrische ruimten op elkaar afbeeldt en die daarbij de afstanden bewaart. Bij een isometrie wordt een figuur steeds afgebeeld op een congruente figuur.
De samenstelling van twee (of meer) isometrieën is weer een isometrie.

Definitie[bewerken]

Zijn  (M_1,d_1) en  (M_2,d_2) twee gegeven metrische ruimten en is f : M_1 \rightarrow M_2 een afbeelding met de eigenschap

d_2(f(x),f(y)) = d_1(x,y)\ ,

dan noemt men f isometrisch van M_1 naar M_2

Zo'n afbeelding is altijd injectief. Als f bijectief is dan noemt men f een isometrisch isomorfisme en noemt men de metrische ruimten M_1 en M_2 isometrisch isomorf.

In andere gevallen noemt men f een isometrische inbedding van M_1 in M_2.

Euclidische isometrie[bewerken]

Een euclidische isometrie is een isometrie in de n-dimensionale euclidische ruimte. Ze zijn van de vorm Ax + b met A een orthogonale matrix en vormen de euclidische groep E(n).

Een directe isometrie is een euclidische isometrie die de oriëntatie niet verandert, ze vormen de speciale euclidische groep SE(n). Bij een directe isometrie is de determinant van A gelijk aan 1, bij een indirecte -1. Bij een directe isometrie is een geleidelijke overgang via tussenliggende isometrieën mogelijk van de identiteit naar die isometrie.

Indirect zijn:

  • in 1D: spiegeling in een punt
  • in 2D: spiegeling in een lijn, inclusief glijspiegeling
  • in 3D: spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling

Isometrieën in het euclidische vlak[bewerken]

SE(2) is de verzameling directe isometrieën in het euclidische vlak. Elk element is van een van de volgende types:

Een combinatie van een niet-triviale rotatie en een translatie is altijd een pure rotatie over dezelfde hoek, met een ander draaipunt. De identieke afbeelding zou hierboven kunnen worden toegevoegd, maar men zou ook kunnen redeneren dat dat niet nodig is omdat deze kan worden beschouwd als een rotatie over 0 graden of een translatie over de nulvector.

De rest van E(2) bestaat uit de indirecte isometrieën: de glijspiegeling, dit is spiegeling t.o.v. een lijn met een translatie evenwijdig aan die lijn (met als speciaal geval een pure spiegeling).

Indeling naar de verzameling dekpunten:

  • het hele vlak: identieke afbeelding
  • een lijn: pure spiegeling
  • een punt: echte rotatie
  • leeg:
    • echte translatie
    • echte glijspiegeling

Hier moeten bijzondere gevallen in ieder geval wel apart behandeld worden, en wordt "echt" toegevoegd bij de overige.

Indeling naar aantal vrijheidsgraden:

  • 0: identieke afbeelding
  • 2:
    • translatie
    • pure spiegeling
  • 3:
    • rotatie
    • glijspiegeling

Isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte[bewerken]

De isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte zijn:

  • SE(3), directe isometrieën, mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam: schroefdraaiing, d.w.z. rotatie met translatie langs de as (met als speciale gevallen geen rotatie en/of geen translatie)
  • de rest van E(3), indirecte isometrieën: spiegeling met rotatie om een as loodrecht op de spiegel of een translatie met een translatievector evenwijdig aan de spiegel (met als speciaal geval een pure spiegeling)

Indeling naar de verzameling dekpunten:

  • de hele ruimte: identieke afbeelding
  • een vlak: pure spiegeling
  • een lijn: echte rotatie
  • een punt: echte draaispiegeling
  • leeg:
    • echte translatie en echte schroefdraaiing
    • echte glijspiegeling

Indeling naar aantal vrijheidsgraden:

  • 0: identieke afbeelding
  • 3:
    • translatie
    • pure spiegeling
  • 5:
    • rotatie
    • glijspiegeling
  • 6:
    • schroefdraaiing
    • draaispiegeling

De puntspiegeling (inversie) is een speciale draaispiegeling, met 3 vrijheidsgraden.

Zie ook[bewerken]

Literatuur[bewerken]