Dekpunt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Een functie met drie dekpunten

In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie een invoerwaarde van de functie, die door deze functie op zichzelf wordt afgebeeld. Dat wil zeggen dat dan en slechts dan een dekpunt van een functie is als .

Voor een op de reële getallen gedefinieerde functie bijvoorbeeld

is 2 dus een dekpunt van aangezien

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat de op de reële getallen gedefinieerde functie is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt op de lijn of in andere woorden de plaats, waar de grafiek van de lijn snijdt. Het voorbeeld is een geval waar de grafiek van de functie en de lijn een paar evenwijdige lijnen zijn.

Punten die na een eindig aantal iteraties van de functie terugkeren op de uitgangswaarde staan bekend als periodieke punten; een dekpunt is een periodiek punt met een periode gelijk aan één.

Het vinden van dekpunten[bewerken]

Een manier om dekpunten te vinden is om met een gok te beginnen. Vervolgens passen we hier herhaald op toe. Dus enz.

Oftewel:

Als de rij convergent is zal deze convergeren naar een dekpunt. Het is gemakkelijk te zien dat deze rij niet voor alle functies en alle 's zal convergeren. Neem de functie en de rij zal steeds heen en weer springen tussen en

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

  • De functie is gedefinieerd op een gesloten interval en als
  • Er is een positief getal zodat voor iedere geldt dat

Het nut van dekpunten[bewerken]

Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking

met beginvoorwaarde Hierbij is een continue functie. Deze differentiaalvergelijking met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking:

want als een oplossing hieraan voldoet, is

en

Zij de verzameling van continue functies op en de afbeelding gedefinieerd door

Als een dekpunt heeft, dan is een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.

Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de contractiestelling van Banach.

Zie ook[bewerken]

Icoontje WikiWoordenboek Zoek dekpunt in het WikiWoordenboek op.