Differentiaalvergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een differentiaalvergelijking (afk.: DV) is een wiskundige vergelijking voor een functie waarin, naast eventueel de functie zelf, een of meer van de afgeleiden van die functie voorkomen. Betreft het een functie van meer dan één onafhankelijke veranderlijke, dan zijn het de partiële afgeleiden die in de vergelijking voorkomen en spreken we van een partiële differentiaalvergelijking. Is er slechts één onafhankelijke veranderlijke, dan spreken we van een gewone DV. Om uitdrukkingen te vereenvoudigen wordt de afgeleide van f meestal genoteerd als f' en niet als \textstyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}.

Een eenvoudig voorbeeld dat wordt beschreven door een differentiaalvergelijking, is een vat met vloeistof dat langzaam leegstroomt. De hoogte h van het vloeistofniveau in het vat neemt af met de tijd. Het is dus een functie van de tijd t. We noteren deze functie als h(t). De uitstroomsnelheid van de vloeistof hangt af van de hoogte. In een eenvoudig geval is die snelheid evenredig met de hoogte en kan de uitstroomsnelheid eenvoudig uitgedrukt worden in de hoogteverandering, dus in de afgeleide van h(t). We noteren die afgeleide met een accent: h'(t). Dan luidt de differentiaalvergelijking:

h'(t) = -c \cdot h(t)

waarin c een positieve constante is. Omdat de hoogteverandering negatief is en de uitstroomsnelheid positief komt er een minteken.

Omdat het eigenlijk een vergelijking voor functies h is, schrijft men vaak:

h' = -c \cdot h

Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een functie h die aan deze relatie voldoet. In het algemeen is een oplossing niet uniek, dat wil zeggen dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen heeft.

Allerlei verschijnselen in de natuurkunde en de toepassingen daarvan in de techniek worden door differentiaalvergelijkingen beschreven. Het voorbeeld bij uitstek vormen trillingen en golven. Bij de eenvoudigste trillingsvergelijking is er een evenredig verband tussen de tweede afgeleide en de functie zelf. De oplossing is een sinusfunctie. Golfvoortplanting in de ruimte wordt door een partiële differentiaalvergelijking beschreven met als veranderlijken de drie ruimtelijke coördinaten en de tijd.

Ook bijvoorbeeld bevolkingsgroei kan door een differentiaalvergelijking worden beschreven. Als we uitgaan van de (sterk vereenvoudigde) aanname van een constante vruchtbaarheid, dat wil zeggen dat de bevolking van een land groeit met een snelheid die evenredig is aan het aantal inwoners, dan is wiskundig de eerste afgeleide van de functie die het aantal inwoners als functie van de tijd weergeeft evenredig met de functie zelf. De oplossing van deze differentiaalvergelijking is een exponentiële functie - vandaar de welhaast spreekwoordelijke exponentiële groei.

Differentiaalvergelijkingen die in de natuur voorkomende verschijnselen beschrijven zijn vaak niet wiskundig oplosbaar. Dan moet er de computer aan te pas komen. Maar dan is er alsnog een hoop wiskunde nodig voordat zo'n vergelijking kan worden 'opgelost' met een computer die eigenlijk slechts elementaire rekenkundige bewerkingen kan uitvoeren. Sommige differentiaalvergelijkingen kunnen zelfs met computers niet of niet nauwkeurig worden opgelost, bijvoorbeeld vergelijkingen die turbulente stromingen beschrijven. Dat is een van de redenen dat er geen betrouwbare weersvoorspellingen mogelijk zijn op langere termijn.

Definitie[bewerken]

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin als onbekende een functie f van een of meer veranderlijken voorkomt in de vorm van een of meer van zijn afgeleiden.

We voeren de volgende notatie in:

f'=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} (de eerste afgeleide); f''=\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2} (de tweede afgeleide); f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n} (de n-de afgeleide).

De algemene vorm van een gewone differentiaalvergelijking voor een functie f, dus van één veranderlijke x is dan:

F(x, f, f^\prime, f^{\prime\prime}, \dots) = 0.

De orde van een differentiaalvergelijking is de orde van de hoogste afgeleide van f, die in F voorkomt. Een n-de orde differentiaalvergelijking heeft dus de volgende vorm:

F(x, f, f^\prime, f^{\prime\prime}, \dots, f^{(n)}) = 0.

Lineaire differentiaalvergelijking[bewerken]

Een DV van de vorm:

c_n(x)f^{(n)}(x)+c_{n-1}(x)f^{(n-1)}(x) +...+c_1(x) f'(x)+c_0(x)f(x)=g(x)\!

is van de n-de orde omdat de hoogste afgeleide van f de n-de is.

Deze DV is een lineaire differentiaalvergelijking, omdat er alleen eerstegraads termen van f(x) en zijn afgeleiden in voorkomen, en geen producten van f(x) en zijn afgeleiden.

Een n-de orde lineaire differentiaalvergelijking heeft n lineair onafhankelijke oplossingen. Elke lineaire combinatie van deze oplossingen is ook een oplossing. De orde van een DV is daarmee gelijk aan het aantal vrijheidsgraden in de verzameling van oplossingen.


Als g(x)\equiv 0, heet de DV homogeen, anders inhomogeen.

Constante coëfficiënten[bewerken]

We spreken van een lineaire DV met constante coëfficiënten, als de coëfficiënten (c_i)\! reële of complexe constanten zijn, dus onafhankelijk van x.

Algemene oplossingsmethode[bewerken]

Voor homogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten:

c_n f^{(n)}+c_{n-1}f^{(n-1)} +...+c_1 f'+c_0 f = 0\!

bestaat een relatief simpele algemene oplossingsmethode. Daarbij wordt uitgegaan van een oplossing van de vorm:

f(x)=e^{ax}\!.

Door invullen in de DV reduceert de vergelijking tot de volgende vergelijking voor de parameter a:

\! c_n a^n+c_{n-1} a^{n-1} +...+c_1 a+c_0 = 0.

Dit is een gewone polynomiale vergelijking in a, met in het algemeen n oplossingen a_1,\cdots,a_n, waarvan er eventueel enkele kunnen samenvallen. Als alle n oplossingen verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de DV gegeven door een lineaire combinatie van de afzonderlijke e-machten:

f(x) = A_1e^{a_1x}+A_2e^{a_2x}+\cdots +A_ne^{a_nx},

waarin de coëfficiënten (A_i) nog vrij gekozen kunnen worden. Meestal worden de coëfficiënten vastgelegd door de beginvoorwaarden.

Voorbeeld 1[bewerken]

We zoeken de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

f''+f=0 \!.

We kunnen dat zien als: zoek een functie, die als tweede afgeleide zijn eigen tegengestelde heeft. We weten al dat de sinus en de cosinus deze eigenschap hebben.

Volgens de boven uiteengezette oplossingsmethode, moeten we de vierkantsvergelijking:

 a^2+1=0\!

oplossen. Deze heeft twee oplossingen: a_1=i en a_2=-i.

De algemene oplossing van de DV wordt dus:

f(x)=A_1 e^{ix} + A_2 e^{-ix}\!.

We zien dat door geschikte keuze van A_1 \mbox{ en }A_2 inderdaad de sinus en de cosinus als oplossing tevoorschijn komen.

Voorbeeld 2[bewerken]

Als tweede voorbeeld nemen we een inhomogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijking:

4 f^{\prime\prime}(x) + f(x) = \sin(x).

De algemene strategie om alle oplossingen te vinden is:

  1. vind de algemene oplossing van de homogene DV;
  2. zoek een oplossing, particuliere oplossing genoemd, van de inhomogene DV;
  3. de algemene oplossing van de inhomogene DV wordt verkregen door bij de particuliere oplossing de algemene oplossing van de homogene DV op te tellen.
Homogene DV[bewerken]

Deze luidt:

\!4 f^{\prime\prime}(x) + f(x) = 0.

De op te lossen veeltermvergelijking wordt dan:

\!4a^2+1=0

De oplossingen daarvan zijn: a_1=\begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}i en a_2=-\begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}i

Dat geeft als algemene oplossing van de homogene DV:

f_H(x)=A_1 e^{\frac{1}{2}ix}+A_2 e^{-\frac{1}{2}ix}\!.

We kunnen dit herschrijven als

f_H(x) = A \sin(\begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}x) + B \cos(\begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}x)
Particuliere oplossing[bewerken]

We zoeken een functie die aan de gegeven inhomogene DV voldoet, een zogenaamde particuliere oplossing. De twee meest gebruikte methoden om een dergelijke oplossing te vinden zijn de methode van de onbepaalde coëfficiënten en de variatie van de parameters.

Volgend voorbeeld gebruikt een eenvoudige vorm van de eerste van deze twee methoden. Aangezien de tweede afgeleide van een sinus weer een sinus oplevert, zij het met een min-teken, proberen we:

\!f_P(x)=a \sin(x)

als mogelijke oplossing. Invullen levert:

\!-4 a \sin(x)+ a \sin(x)=\sin(x),

waaruit volgt

\!a = -\tfrac{1}{3}.

Een particuliere oplossing is dus:

f_P(x)= -\tfrac{1}{3} \sin(x)\!

De algemene oplossing is de som van de algemene oplossing f_H(x) van de homogene DV en de gevonden particuliere oplossing f_P(x)=:

f(x) = A \sin\left(\tfrac{1}{2}x\right) + B \cos\left(\tfrac{1}{2}x\right) - \tfrac{1}{3}\sin(x).

Er is ook een algemene oplossingsmethode voor gewone lineaire tweede orde DV's van Lagrange, Variatie van de parameters, maar die is wat ingewikkelder.

Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen[bewerken]

Het oplossen van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen is een stuk moeilijker en onoverzichtelijker. Er is geen algemene oplossingsmethode voor.

Voorbeelden[bewerken]

Een slinger voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking (met ω een constante):

 f''(t) + \omega\sin f(t) = 0 \ .

De functie f(t) beschrijft de hoek die de slinger maakt met de verticale richting. Deze vergelijking is niet oplosbaar met standaardtechnieken. Een mogelijke aanpak is de benadering van kleine uitwijking door te voeren, zodat sin f(t) ≈ f(t). Hierdoor herleidt de vergelijking zich tot die van de harmonische oscillator.

Een ander voorbeeld is de differentiaalvergelijking van een hangende ketting of touw:

 f(t) f''(t) = (f'(t))^2 + 1 \ .

Deze heeft de zogenaamde kettinglijn als algemene oplossing

 f(t) = C \cosh\frac{t-t_0}C

met C en t0 integratieconstanten van het vraagstuk.

Begin- en randvoorwaarden[bewerken]

Om een eenduidige oplossing van een differentiaalvergelijking te krijgen, moeten randvoorwaarden opgelegd worden. In het algemeen kan gesteld worden dat voor een n-de orde differentiaalvergelijking n verschillende randvoorwaarden nodig zijn.

Bijvoorbeeld: de eerste orde differentiaalvergelijking

f'(t) = f(t)\!

heeft als algemene oplossing f(t)=A e^t, waarbij A nog onbepaald is. Door de beginvoorwaarde f(0)=1 op te leggen, wordt de oplossing eenduidig bepaald als f(t)=e^t.

Lineaire vergelijkingen[bewerken]

Men kan bewijzen[bron?], dat een lineaire differentiaalvergelijking van n-de orde, met randvoorwaarden

\!y(x_0)=y_1
\!y'(x_0)=y_2
...
\!y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}

één unieke continu oplossing heeft.

Een mooi voorbeeld om de natuurkundige betekenis van begin- en randvoorwaarden te illustreren is de trillende snaar. De differentiaalvergelijking die een trillende snaar beschrijft heeft oneindig veel oplossingen (waaronder de nuloplossing voor een snaar in rust). Pas met de randvoorwaarden dat de snaar een amplitude nul heeft in haar bevestigingspunten, en de beginvoorwaarde van de stand van de snaar op een bepaald moment is een eenduidige oplossing te berekenen.

Een partiële differentiaalvergelijking[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Partiële differentiaalvergelijking voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Veel verschijnselen in de fysica moeten beschreven worden met behulp partiële differentiaalvergelijkingen. Bijvoorbeeld de trilling van een snaar wordt beschreven door

\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2u}{\partial t^2},\!

waarbij u(x,t) de uitwijking van de snaar is, x de positie van de snaar (van 0 aan het ene eind tot 1 aan het andere eind) en t de tijd. Deze partiële differentiaalvergelijking is van de tweede orde, zowel in de tijd als in de plaats. Er zijn dus twee randvoorwaarden in de tijd ("beginvoorwaarde") nodig, bv.

u(x,0)=f(x),~~\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)\!

en 2 randvoorwaarden in de plaats, bv.

u(0,t)=0,\!
u(1,t)=0.\!

Deze randvoorwaarden houden in dat de snaar ingeklemd is. Door middel van scheiden van veranderlijken is deze DV te herleiden tot twee gewone DV's, waarin alleen tijd of plaats voorkomt als onafhankelijk veranderlijke.

Differentievergelijkingen[bewerken]

Het discrete analogon van een differentiaalvergelijking is een differentievergelijking.

Zie ook[bewerken]

Externe bron[bewerken]