Lineaire combinatie

$\mathbf {v}$ is de lineaire combinatie van de vectoren $\mathbf {u} _{1}$ en $\mathbf {u} _{2}$: $\mathbf {v} =2\cdot \mathbf {u} _{1}+1.5\cdot \mathbf {u} _{2}$

In de lineaire algebra is een lineaire combinatie van eindig veel vectoren uit een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be), een som van veelvouden van deze vectoren.

Veronderstel dat $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{n}$ vectoren zijn in de vectorruimte $V$ over het lichaam / veld $K$. De vector $\mathbf {w}$ is een lineaire combinatie van deze $n$ vectoren als:

$\mathbf {w} =a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {u} _{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {u} _{i}\quad$ met $\quad a_{i}\in K$.

Alle vectoren in de lineaire deelruimte die door de vectoren $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{n}$ wordt opgespannen zijn vanzelf een lineaire combinaties van deze $n$ vectoren.

Voorbeelden

Laat het lichaam / veld $K$ de reële getallen $\mathbb {R}$ zijn en laat $V$ de euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{3}$ zijn. Beschouw de vectoren

$\mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\mathbf {e} _{2}=(0,1,0)$ en $\mathbf {e} _{3}=(0,0,1)$.

Dan is iedere vector in $\mathbb {R} ^{3}$ een lineaire combinatie van $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ en $\mathbf {e} _{3}$.

Neem om dit in te zien als voorbeeld de vector $\mathbf {a} =(1,2,3)\in \mathbb {R} ^{3}$ en schrijf:

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}$.

De vector $\mathbf {e} _{3}$ is geen lineaire combinatie van $\mathbf {e} _{1}$ en $\mathbf {e} _{2}$, omdat er geen getallen $a_{1}$ en $a_{2}$ zijn waarvoor

$\mathbf {e} _{3}=(0,0,1)=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)=(a_{1},a_{2},0)$