Verzameling (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De doorsnede van twee verzamelingen en

In de wiskunde is een verzameling een collectie van verschillende objecten, elementen genoemd, die zelf als een wiskundig object wordt beschouwd. Het begrip verzameling is een wiskundig basisbegrip. Dat wil zeggen dat het niet kan worden gedefinieerd in, herleid tot, termen van andere wiskundige begrippen, maar zelf axiomatisch gedefinieerd moet worden. Verzamelingen vormen het basismateriaal van de verzamelingenleer.

Verzamelingen behoren tot de fundamentele concepten binnen de wiskunde. De grondslag voor het begrip verzameling werd aan het einde van de 19e eeuw gelegd door de Duitse wiskundige Georg Cantor. Hij noemde een verzameling informeel: "een veelheid van elementen, die volgens een bepaalde definitie bij elkaar horen en daardoor een geheel vormen".

De verzamelingenleer is inmiddels alomtegenwoordig in de wiskunde, en kan als theoretische basis dienen om van daaruit bijna de gehele wiskunde af te leiden. In het middelbare wiskundeonderwijs worden elementaire onderwerpen als venndiagrammen onderwezen. Meer geavanceerde concepten komen in een universitaire studie wiskunde aan de orde.

Twee verzamelingen zijn identiek als ze dezelfde elementen bevatten. Een verzameling zonder enig element heet lege verzameling. Bij de beschrijving van een verzameling gaat het uitsluitend om de vraag welke elementen in die verzameling zijn opgenomen. Ieder element komt daarom hooguit één keer in een verzameling voor.

De mandelbrotverzameling is een bekend voorbeeld van een verzameling en bestaat uit de complexe getallen die, nadat er herhaald dezelfde gegeven bewerking op is uitgevoerd, naar een eindige waarde itereren.

Definitie[bewerken]

Hieronder wordt slechts een globaal overzicht gegeven van het begrip 'verzameling'. Dit overzicht wil de lezer helpen om met verzamelingen te kunnen werken en belangrijke begrippen als afbeeldingen, functies, getallen en relaties te kunnen definiëren.

Georg Cantor gaf aan het begin van zijn Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre[1] de volgende definitie van een verzameling:

Aanhalingsteken openen

Met een verzameling bedoelen we elke collectie uit een geheel van concrete, afzonderlijke objecten , die de elementen van worden genoemd, van onze perceptie [Anschauung] of van ons denken.

Aanhalingsteken sluiten

De elementen of leden van een verzameling kunnen bijvoorbeeld zijn: getallen, letters van het alfabet, andere verzamelingen en zo verder. Verzamelingen worden gewoonlijk met een hoofdletter aangeduid.

Zoals hieronder uitvoeriger wordt besproken, bleek de hierboven gegeven wiskundige definitie van Cantor niet te voldoen binnen het theoretische kader van de formele wiskunde. In plaats daarvan wordt het begrip 'verzameling' in de axiomatische verzamelingenleer als een ongedefinieerde primitieve genomen en worden haar eigenschappen gedefinieerd door de axioma's van Zermelo-Fraenkel. Er zijn twee fundamentele eigenschappen die samen het begrip 'verzameling' typeren. Ten eerste "heeft" een verzameling elementen; ten tweede zijn twee verzamelingen slechts dan aan elkaar gelijk (identiek) als ze beide dezelfde elementen hebben.

1rightarrow blue.svg Zie ook de paragraaf Symbolen uit de verzamelingenleer in Lijst van wiskundige symbolen

Beschrijving van verzamelingen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Element (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In het dagelijkse spraakgebruik komt het begrip 'verzameling' ook voor: met "bestek" wordt in een huishouden de verzameling lepels, vorken en messen bedoeld, het "servies" van oma is een verzameling borden, schalen.... Een "pak" speelkaarten is een verzameling speelkaarten.

Er zijn twee manieren om de elementen van een verzameling vast te leggen. Eén manier is door een beschrijving, waarbij gebruik wordt gemaakt van een regel: een semantische beschrijving van de elementen:

is de verzameling waarvan de elementen de eerste vier positieve getallen zijn.
is de verzameling van alle kleuren van de Nederlandse vlag: . In plaats van de verticale streep schrijft men ook wel een dubbelepunt: .

De tweede manier is door opsomming, dat wil zeggen dat elk element van de verzameling expliciet wordt genoemd. De expliciet genoemde elementen worden tussen accolades geplaatst:

Als een element is van de verzameling , wordt dit genoteerd als . Is géén element van , dan wordt dit wel aangeduid door .

Met betrekking tot de verzamelingen en bijvoorbeeld, zoals hierboven gedefinieerd, geldt

en

Twee verzamelingen zijn aan elkaar gelijk, als ze dezelfde elementen bevatten. Dat twee verzamelingen en aan elkaar gelijk zijn, noteert men eenvoudigweg als . Formeel:

betekent dat voor alle geldt:

Ook geldt omgekeerd:

Als voor alle geldt: , dan is

Anders dan bij een multiset komt elk element van een verzameling maar één keer voor als element van de verzameling, ook al wordt een element meer keren genoemd. Zo is de verzameling letters dezelfde als de verzameling en de verzameling . Ieder element van een verzameling blijft onder alle bewerkingen op uniek. De volgorde waarin de elementen van een verzameling worden opgesomd, telt niet, dit in tegenstelling tot bij een rij of een tupel. Elementen staan in een rij opeenvolgend opgesomd en mogen in tegenstelling tot in een verzameling wel meer dan één keer in een rij voorkomen.

Een verzameling objecten in het dagelijks leven, bijvoorbeeld een platenverzameling, of de spullen in een tas, kan identieke objecten bevatten, waarbij de multipliciteit vaak relevant is, en moet dan als een multiset worden beschreven, niet als verzameling.

De lege verzameling, die geen elementen heeft, wordt met het symbool ∅ genoteerd. Minder gebruikelijk is de notaie {}.

Het aantal elementen in een verzameling noemt men de kardinaliteit van de verzameling.

Deelverzamelingen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Deelverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
Venn A subset B.svg
is een deelverzameling van

Als elk element van de verzameling ook element is van de verzameling , zegt men dat een deelverzameling is van . Dit wordt genoteerd als of als , en uitgesproken als is een deel(verzameling) van , of als wordt door omvat. In plaats daarvan kan ook worden geschreven: , of zeg: omvat , sluit in, of is een superset van . De relatie tussen verzamelingen die wordt vastgelegd door ⊆ wordt inclusie of omvatting genoemd.

Als een deelverzameling is van , maar niet daaraan gelijk is, wordt een echte of strikte deelverzameling van genoemd. Dit wordt wel genoteerd als , of : is een strikte superset van .

Voorbeeld:

  • De verzameling van alle mannen is een strikte deelverzameling van de verzameling van alle mensen.
  • , maar ook

De uitdrukkingen en worden door verschillende auteurs verschillend gebruikt: sommigen gebruiken deze relatie in de betekenis van (respectievelijk ), terwijl anderen er (respectievelijk ) mee bedoelen.

De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling en elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf:

Een duidelijke maar bruikbare identiteit, die vaak kan worden gebruikt om aan te tonen dat twee ogenschijnlijk verschillende verzamelingen toch aan elkaar gelijk zijn:

  • dan en slechts dan als en

Kardinaliteit[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Kardinaliteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De kardinaliteit van een verzameling is "het aantal elementen van ". Aangezien bijvoorbeeld de Nederlandse vlag drie kleuren kent, is de kardinaliteit van de verzameling gelijk aan .

De lege verzameling ∅ heeft kardinaliteit 0. Hoewel het misschien triviaal lijkt, is de lege verzameling, net zoals het getal nul, belangrijk in de wiskunde; het bestaan van de lege verzameling is zelfs een van de fundamentele concepten uit de axiomatische verzamelingenleer .

Sommige verzamelingen hebben een oneindige kardinaliteit. De verzameling van de natuurlijke getallen is bijvoorbeeld oneindig. Men kan echter aantonen dat sommige oneindige kardinaliteiten groter zijn dan andere. De verzameling van de reële getallen bijvoorbeeld heeft een grotere kardinaliteit dan de verzameling van de natuurlijke getallen. Het kan worden aangetoond dat de kardinaliteit van (dat wil zeggen: het aantal punten op) een rechte lijn dezelfde is als de kardinaliteit van enig lijnstuk van die lijn, dezelfde als die van het gehele vlak en ook dezelfde als die van enige eindig-dimensionale euclidische ruimte.

Machtsverzamelingen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Machtsverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De machtsverzameling van een verzameling is de verzameling van alle deelverzamelingen van . Daartoe behoort de verzameling zelf en de lege verzameling. Als een eindige verzameling een kardinaliteit heeft, is de kardinaliteit van de machtsverzameling van gelijk aan . De machtsverzameling wordt genoteerd als of als .

Als een oneindige verzameling is, is de machtsverzameling van altijd overaftelbaar, of nu aftelbaar dan wel overaftelbaar is. Als bovendien een verzameling is, dan is er nooit een bijectie van op mogelijk. Met andere woorden: de machtsverzameling van is altijd strikt groter dan zelf.

De kardinaliteit van de oorspronkelijke verzameling is 3 en de kardinaliteit van de machtsverzameling is 23 = 8. Deze relatie is een van de redenen voor de naam machtsverzameling.

Operaties[bewerken]

  • De vereniging van twee verzamelingen en wordt gevormd door de elementen die in of in (of in beide) zitten. Notatie: .
  • De doorsnede van twee verzamelingen en wordt gevormd door de verzameling van gemeenschappelijke elementen, dus alle elementen die zowel in als in zitten. Notatie: .
  • Een verzameling is een deel van het universum , waarmee in dit verband wordt bedoeld de verzameling met alle mogelijke relevante elementen. De complementaire verzameling van een verzameling is dan de verzameling van alle elementen in die niet in zitten, notatie: . wordt in het algemeen als het complement van aangeduid. Andere notaties voor het complement zijn en .

Er gelden de volgende eigenschappen:

Eigenschap Doorsnede Vereniging
commutatief A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
associatief A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
distributief A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
neutraal element A ∩ U = A voor alle A A ∪ ∅ = A voor alle A
'kleinste' en 'grootste'
verzameling
A ∩ ∅ = ∅ voor alle A A ∪ U = U voor alle A

Een partitie is een opdeling van een verzameling in niet-lege, onderling disjuncte, deelverzamelingen, die wel blokken worden genoemd. Bijvoorbeeld: als , dan vormen de deelverzamelingen , en een partitie van met drie blokken.

De deelverzamelingen van een gegeven verzameling vormen een booleaanse algebra onder doorsnede en vereniging.

Bekende verzamelingen[bewerken]

Voorbeelden van getallenverzamelingen zijn:

  1. De natuurlijke getallen die in het algemeen aantallen voorstellen en gesloten zijn onder optelling en vermenigvuldiging.
  2. De gehele getallen, die ook gesloten zijn onder aftrekking
  3. De rationale getallen, die bestaan uit de gehele getallen en de breuken.
  4. De reële getallen, waaronder ook de transcendente getallen vallen.
  5. De complexe getallen verschijnen als oplossing van vergelijkingen als .

Venndiagrammen[bewerken]

Met behulp van venndiagrammen, genoemd naar John Venn, kunnen verzamelingen aanschouwelijk voorgesteld worden. In de bovenstaande afbeelding van een venndiagram is de doorsnede van twee verzamelingen en lichtpaars weergegeven.

Relatief complement[bewerken]

Het relatieve complement van ten opzichte van is[2] de verzameling van de elementen van die niet tot behoren. Het wordt genoteerd als:

(lees: A met daaruit weggelaten B). Het relatieve complement wordt ook wel genoteerd als:

Wetten van De Morgan[bewerken]

De wetten van De Morgan luiden:

Modellering[bewerken]

Men dient voorzichtig te zijn met verbale beschrijvingen van verzamelingen, omdat deze gemakkelijk tot paradoxen kunnen leiden. De axiomatische verzamelingenleer is geconstrueerd om deze paradoxen te vermijden.

Relaties met andere takken van de wiskunde[bewerken]

Vrijwel alle andere takken van de wiskunde worden gebaseerd op de verzamelingenleer. Zo is bijvoorbeeld in de kansrekening de uitkomstenruimte de universele verzameling van alle mogelijkheden en zijn de gebeurtenissen de (deel)verzamelingen. Ook andere elementaire begrippen in de wiskunde, zoals functies worden gedefinieerd in termen van verzamelingen. Hierbij wordt gebruikgemaakt van het cartesisch product.

1rightarrow blue.svg Zie ook Bovengrens en ondergrens.

Toepassingen[bewerken]