Verzameling (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De doorsnede van twee verzamelingen A en B wordt in dit venndiagram in het donkere blauwe gekleurde vlak in het midden weergegeven.

Een verzameling is in de verzamelingenleer (een deelgebied van de wiskunde) een collectie van verschillende objecten, elementen genoemd, die op haar beurt ook weer als een object wordt beschouwd. Het begrip verzameling is een basisbegrip dat zich niet gemakkelijk laat definiëren in termen van andere begrippen, maar moet echt axiomatisch gedefinieerd worden.

Verzamelingen behoren tot de meest fundamentele concepten binnen de wiskunde. De grondslag voor het begrip verzameling werd aan het einde van de 19e eeuw gelegd door de Duitse wiskundige Georg Cantor. Hij noemde een verzameling informeel: een veelheid beschouwd als een, de totaliteit van in bepaalde zin bij elkaar behorende elementen.

De verzamelingenleer is heden ten dage alomtegenwoordig in de wiskunde, en kan als een basis worden gebruikt, van waaruit bijna de gehele wiskunde kan worden afgeleid. In het wiskundeonderwijs aan de middelbare scholen worden elementaire onderwerpen zoals venndiagrammen onderwezen. Meer geavanceerde concepten komen als onderdeel van een universitaire studie wiskunde aan de orde.

Twee verzamelingen zijn identiek, wanneer ze dezelfde elementen bevatten. Een verzameling zonder element noemt men een "lege verzameling". Bij de beschrijving van een verzameling gaat het uitsluitend om de vraag welke elementen in de verzameling zijn opgenomen. Dat hetzelfde element eventueel meerdere keren in de verzameling voorkomt is niet van belang, evenmin als de volgorde van de elementen.

Definitie[bewerken]

Hier geven we alleen een globaal overzicht van het concept verzameling. Dit overzicht is er op gericht om met verzamelingen te kunnen werken, en de belangrijke begrippen als afbeeldingen, functies, getallen en relaties te kunnen definiëren.

Georg Cantor gaf aan het begin van zijn Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:[1] de volgende definitie van een verzameling:

Aanhalingsteken openen

Met een "verzameling" bedoelen we elke collectie M uit een geheel van concrete, afzonderlijke objecten m (die de "elementen" van M worden genoemd) van onze perceptie [Anschauung] of van ons denken.

Aanhalingsteken sluiten

De elementen of leden van een verzamelingen kunnen van alles zijn: getallen, mensen, letters van het alfabet, andere verzamelingen en zo verder. Verzamelingen worden gewoonlijk aangeduid door hoofdletters. De verzamelingen A en B zijn dan en slechts dan aan elkaar gelijk als zij precies dezelfde elementen hebben.

Zoals hieronder wordt besproken bleek de hierboven gegeven definitie ontoereikend te zijn voor de formele wiskunde, in plaats daarvan wordt de notie van een "verzameling" in de axiomatische verzamelingenleer als een ongedefinieerde primitieve genomen en worden haar eigenschappen gedefinieerd door de axioma's van Zermelo-Fraenkel. De meest fundamentele eigenschappen zijn dat een verzameling elementen "heeft" en dat twee verzamelingen gelijk zijn (een en dezelfde) dan en slechts dan als deze twee verzamelingen dezelfde elementen hebben.

Voor een samenvatting van de notatie, zie symbolen uit de verzamelingenleer.

Beschrijving van verzamelingen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie element (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In het dagelijkse spraakgebruik maken we ook gebruik van het begrip verzameling: we spreken van bestek als we (de verzameling van) lepels, vorken en messen bedoelen. Het servies van oma is een verzameling borden, schalen enz. Een pak speelkaarten is een ander woord voor een verzameling speelkaarten. In de wiskunde kennen we de verzameling van de natuurlijke getallen: {0,1,2,3,4, ...}, een totaliteit met als elementen de getallen 0, 1, 2, 3, 4, enz.

Een formele definitie kan hier niet gegeven worden. We volstaan ermee dat een verzameling bepaald wordt door zijn elementen. Deze elementen kunnen van alles zijn: getallen, andere verzamelingen, mensen, grassprieten.... Zo is bijvoorbeeld 4 een element van de verzameling der gehele getallen. Wanneer x een element is van de verzameling A, schrijven we xA.

Er zijn twee manieren om de elementen van een verzameling te beschrijven of te specificeren. Een manier is door een intensionele definitie, waarbij gebruik wordt gemaakt van een regel of een semantische beschrijving van de elementen:

A is de verzameling, waarvan de elementen de eerste vier positieve getallen zijn.
B is de verzameling van alle kleuren van de Nederlandse vlag {x : x is een kleur van de Nederlandse vlag}.

De tweede manier is door extensie - dat is wanneer elk element van de verzameling expliciet wordt opgesomd. Een extensionele definitie wordt aangeduid, doordat de opsomming van de elementen tussen accolades wordt geplaatst:

C = {4, 2, 1, 3}
D = {rood, wit, blauw}

In tegenstelling tot bij een multiset, moet elk element van een verzameling uniek zijn; geen twee leden mogen identiek zijn. Alle verzamelingoperaties bewaren de eigenschap dat elk element van de verzameling uniek is. De volgorde, waarin de elementen van een verzameling worden opgesomd, is niet relevant, dit in tegenstelling tot bij een rij of een tupel. Bijvoorbeeld:

{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

omdat de extensionele specificatie alleen betekent dat elk van de opgesomde elementen een lid van de verzameling is.

De lege verzameling, die immers geen elementen heeft, kan als volgt worden genoteerd:

{ }

Vaak wordt hiervoor het symbool ∅ gebruikt.

Het aantal elementen in een verzameling noemt men de kardinaliteit van de verzameling.

Lidmaatschap[bewerken]

De belangrijkste relatie tussen verzamelingen is lidmaatschap - wanneer een verzameling een element is van een andere verzameling. Wanneer a lid is van B wordt dit aangeduid door aB, terwijl als c geen lid is van B dit wordt aangeduid door cB. Bijvoorbeeld met betrekking tot de verzamelingen A = {1,2,3,4}, B= {rood, wit, blauw} (de kleuren in de Nederlandse vlag), en F = {n2 - 4 : n is een geheel getal; en 0 ≤ n ≤ 19} zoals hierboven gedefinieerd, geldt

4 ∈ A en 285 ∈ F, maar
9 ∉ F en groen ∉ B.

Deelverzamelingen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie deelverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als elk lid van verzameling A ook lid is van verzameling B, dan zegt men dat A een deelverzameling van B is. Dit wordt geschreven als AB (uitgesproken als A wordt omvat door B). Op gelijkwaardige wijze kunnen wij BA schrijven, lees als B is een superset van A, B sluit A in of B omvat A. De relatie tussen verzamelingen die wordt vastgelegd door ⊆ wordt inclusie of omvatting genoemd.

Als A een deelverzameling is van, maar niet gelijk is aan, B, dan wordt A een echte of strikte deelverzameling van B genoemd. Dit wordt geschreven AB (A is een strikte deelverzameling van B) of BA (B is een strikte superset van A).

Merk op dat de uitdrukkingen AB en BA door verschillende auteurs anders worden gebruikt; sommige auteurs gebruiken deze relatie in de betekenis van AB (respectievelijk BA), terwijl andere auteurs deze relatie in de betekenis van AB (respectievelijk BA) gebruiken.

A is een deelverzameling van B
A is een deelverzameling van B

Voorbeeld:

  • De verzameling van alle mannen is een strikte deelverzameling van de verzameling van alle mensen.
  • {1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling en elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf:

  • ∅ ⊆ A.
  • AA.

Een duidelijke maar bruikbare identiteit, die vaak kan worden gebruikt om aan te tonen dat twee ogenschijnlijk verschillende verzamelingen toch aan elkaar gelijk zijn:

  • A = B dan en slechts dan als AB en BA.

Machtsverzamelingen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie machtsverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De machtsverzameling van een verzameling S is de verzameling van alle deelverzamelingen van S. Dit sluit de deelverzamelingen in, die kunnen worden gevormd uit alle leden van S en daarboven op de lege verzameling. Als een eindige verzameling S een kardinaliteit n heeft, dan heeft de machtsverzameling van S kardinaliteit 2n. De machtsverzameling kan worden geschreven als P(S).

Als S een oneindige (hetzij aftelbare hetzij overaftelbare) verzameling is, dan is de machtsverzameling van S altijd overaftelbaar. Als S bovendien een verzameling is, dan is er nooit een bijectie van S op P(S) mogelijk. Met andere woorden is de machtsverzameling van S altijd strikt "groter" dan S.

Als een voorbeeld is de machtsverzameling van de verzameling {1, 2, 3} is { {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅ }. De kardinaliteit van de oorspronkelijke verzameling is 3, en de kardinaliteit van de machtsverzameling is 23 = 8. Deze relatie is een van de redenen voor de terminologie machtsverzameling.

Eigenschappen[bewerken]

We noemen twee verzamelingen gelijk wanneer ze dezelfde elementen bevatten. Formeel:

A = B ↔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)

Dat twee verzamelingen A en B gelijk zijn noteren we als A = B.

De verzameling A wordt een deelverzameling van de verzameling B genoemd, als elk element van A ook element is van B (notatie: AB). Iedere verzameling heeft als deelverzamelingen zichzelf (oneigenlijke deelverzameling) en de lege verzameling.

Twee deelverzamelingen A en B worden disjunct genoemd wanneer zij geen gemeenschappelijke elementen hebben; hun doorsnede is dan leeg (de lege verzameling).

Kardinaliteit[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie kardinaliteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De kardinaliteit | S | van een verzameling S is "het aantal leden dat deel uitmaakt van S" (het aantal elementen). Aangezien bijvoorbeeld de Nederlandse vlag drie kleuren kent is de kardinaliteit van de verzameling "kleuren in de Nederlandse vlag" gelijk aan | B | = 3.

De lege verzameling ∅ heeft kardinaliteit 0. Hoewel het misschien triviaal lijkt, is de lege verzameling, net zoals het getal nul, belangrijk in de wiskunde; het bestaan van de lege verzameling is zelfs een van de fundamentele concepten uit de axiomatische verzamelingenleer .

Sommige verzamelingen hebben een oneindige kardinaliteit. De verzameling N van natuurlijke getallen is bijvoorbeeld oneindig. Men kan echter demonstreren dat sommige oneindige kardinaliteiten groter zijn dan andere. De verzameling van de reële getallen heeft bijvoorbeeld een grotere kardinaliteit dan de verzameling van de natuurlijke getallen. Het kan worden aangetoond dat de kardinaliteit van (dat wil zeggen: het aantal punten op) een rechte lijn dezelfde is als de kardinaliteit van enig lijnstuk van die lijn, dezelfde als die van het gehele vlak, en ook dezelfde als die van enige eindig-dimensionale Euclidische ruimte.

Operaties[bewerken]

  • De vereniging van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de elementen die in A of in B (of in beide) zitten. Notatie : AB.
  • De doorsnede van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de verzameling van gemeenschappelijke elementen, dus alle elementen die zowel in A als in B zitten. Notatie : AB.

Een verzameling zal een deel zijn van het Universum U, waarmee in dit verband wordt bedoeld de verzameling met alle mogelijke elementen. Het complement A' van een verzameling A is dan de verzameling van alle elementen in U die niet in A zitten, notatie: A' = {x: x ∈ U ∧ x ∉ A}. A' wordt ook wel als de complementaire verzameling, kortweg het complement van A aangeduid.

We kunnen nu opmerken dat:

Eigenschap Doorsnede Vereniging
Commutatief A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Associatief A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Er is een 0/1 element A ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
Distributief A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Een partitie is een opdeling van een verzameling in niet lege, onderling disjuncte, deelverzamelingen, die wel blokken worden genoemd. Bijvoorbeeld: Als A={1,2,3,4,5,6,7,8}, dan is { {1,3}, {2,4,5,7}, {6,8} } een partitie van A met drie blokken.

Wanneer A een verzameling is, noemen we de verzameling van alle deelverzamelingen de machtsverzameling van A, notatie P(A) of 2A.

Om wat vooruit te lopen: de deelverzamelingen van een gegeven verzameling vormen samen een booleaanse algebra onder deze operatoren.

Bekende verzamelingen[bewerken]

Voorbeelden van getallenverzamelingen zijn:

  1. Natuurlijke getallen worden gebruikt om het aantal elementen van een verzameling aan te geven.
  2. Gehele getallen verschijnen als oplossingen van vergelijkingen als x + a = b. Ze bevatten dus de natuurlijke getallen en de negatieve getallen.
  3. Rationale getallen verschijnen als oplossing van vergelijkingen als a + bx = c. Zij bestaan dus uit de gehele getallen en de breuken.
  4. Algebraïsche getallen verschijnen als oplossingen van polynomen.
  5. Reële getallen, waaronder ook de Transcendente getallen vallen.
  6. Complexe getallen verschijnen als oplossing van vergelijkingen als x² + 1 = 0.

Venndiagrammen[bewerken]

Venndiagrammen, genoemd naar John Venn, vormen een illustratie van eigenschappen van verzamelingen.

De doorsnede van twee verzamelingen A en B is in het voorbeeld in het licht paars gekleurde vlak aangegeven.

Eigenschappen van en stellingen over verzamelingen[bewerken]

Enkele eenvoudige stellingen over verzamelingen:

  • Stelling 1: Gegeven drie verzamelingen A, B en C, dan geldt dat als A een deelverzameling is van B en B is een deelverzameling van C, dan is A een deelverzameling van C.
  • Stelling 2: Twee verzamelingen A en B zijn gelijk dan en slechts dan als A een deelverzameling van B is en B een deelverzameling is van A.
  • Stelling 3: De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling.

Definitie: A - B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B} - (Het complement van B m.b.t. A).

De wetten van De Morgan luiden:

  • (AB)' = A'B '
  • (AB)' = A'B '
  • A - (BC) = (A - B) ∩ (A - C)
  • A - (BC) = (A - B) ∪ (A - C)

Modellering[bewerken]

Men dient voorzichtig te zijn met verbale beschrijvingen van verzamelingen, omdat deze gemakkelijk tot paradoxen kunnen leiden. De axiomatische verzamelingenleer is geconstrueerd om deze paradoxen te vermijden.

Bijvoorbeeld: Laten we een verzameling "goed gemodelleerd" noemen wanneer ze niet zichzelf als element bevat. Laat S de verzameling van alle goed gemodelleerde verzamelingen zijn. Is S goed gemodelleerd? Hierop is geen antwoord mogelijk; dit wordt de paradox van Russell genoemd. In de axiomatische verzamelingenleer kan een verzameling niet zichzelf als element hebben.

Relaties met andere takken van de wiskunde[bewerken]

Vrijwel alle andere takken van de wiskunde worden gebaseerd op de verzamelingenleer. Zo wordt bijvoorbeeld kansrekening (waarschijnlijkheidsrekening) bedreven op basis van verzamelingenleer. Ook andere elementaire begrippen in de wiskunde, zoals functies worden gedefinieerd in termen van verzamelingen. Hierbij wordt gebruikgemaakt van het Cartesisch product.

Zie ook: bovengrens

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

Voetnoot
  1. Geciteerd in Dauben, pag. 170