Verzameling (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De doorsnede van twee verzamelingen A en B wordt in dit venndiagram in het lichtpaars gekleurde vlak in het midden weergegeven.

Een verzameling is in de verzamelingenleer (een deelgebied van de wiskunde) een collectie van verschillende objecten, elementen genoemd, die op haar beurt ook weer als een object wordt beschouwd. Het begrip verzameling is een basisbegrip dat zich niet gemakkelijk laat definiëren in termen van andere begrippen, maar axiomatisch gedefinieerd moet worden.

Verzamelingen behoren tot de meest fundamentele concepten binnen de wiskunde. De grondslag voor het begrip verzameling werd aan het einde van de 19e eeuw gelegd door de Duitse wiskundige Georg Cantor. Hij noemde een verzameling informeel: een veelheid beschouwd als een, de totaliteit van in bepaalde zin bij elkaar behorende elementen.

De verzamelingenleer is heden ten dage alomtegenwoordig in de wiskunde en kan als een basis worden gebruikt, van waaruit bijna de gehele wiskunde kan worden afgeleid. In het wiskundeonderwijs aan de middelbare scholen worden elementaire onderwerpen zoals venndiagrammen onderwezen. Meer geavanceerde concepten komen als onderdeel van een universitaire studie wiskunde aan de orde.

Twee verzamelingen zijn identiek, wanneer ze dezelfde elementen bevatten. Een verzameling zonder element noemt men een "lege verzameling". Bij de beschrijving van een verzameling gaat het uitsluitend om de vraag welke elementen in de verzameling zijn opgenomen. Dat hetzelfde element eventueel meerdere keren in de verzameling voorkomt is niet van belang, evenmin als de volgorde van de elementen.

Definitie[bewerken]

Hier wordt alleen een globaal overzicht gegeven van het concept verzameling. Dit overzicht is erop gericht om met verzamelingen te kunnen werken en de belangrijke begrippen als afbeeldingen, functies, getallen en relaties te kunnen definiëren.

Georg Cantor gaf aan het begin van zijn Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:[1] de volgende definitie van een verzameling:

Aanhalingsteken openen

Met een "verzameling" bedoelen we elke collectie M uit een geheel van concrete, afzonderlijke objecten m (die de "elementen" van M worden genoemd) van onze perceptie [Anschauung] of van ons denken.

Aanhalingsteken sluiten

De elementen of leden van een verzamelingen kunnen van alles zijn: getallen, mensen, letters van het alfabet, andere verzamelingen en zo verder. Verzamelingen worden gewoonlijk aangeduid door hoofdletters. De verzamelingen A en B zijn dan en slechts dan aan elkaar gelijk als zij precies dezelfde elementen hebben.

Zoals hieronder wordt besproken bleek de hierboven gegeven definitie ontoereikend te zijn voor de formele wiskunde. In plaats daarvan wordt de notie van een "verzameling" in de axiomatische verzamelingenleer als een ongedefinieerde primitieve genomen en worden haar eigenschappen gedefinieerd door de axioma's van Zermelo-Fraenkel. De meest fundamentele eigenschappen zijn dat een verzameling elementen "heeft" en dat twee verzamelingen gelijk zijn (een en dezelfde) dan en slechts dan als deze twee verzamelingen dezelfde elementen hebben.

Voor een samenvatting van de notatie, zie symbolen uit de verzamelingenleer.

Beschrijving van verzamelingen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie element (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In het dagelijkse spraakgebruik komt het begrip verzameling ook voor: men spreekt van bestek waarmee de verzameling lepels, vorken en messen bedoeld wordt. Het servies van oma is een verzameling borden, schalen enz. Een pak speelkaarten is een ander woord voor een verzameling speelkaarten.

Een formele definitie kan hier niet gegeven worden. Een verzameling wordt bepaald door haar elementen. Deze elementen kunnen van alles zijn: getallen, andere verzamelingen, mensen, grassprieten ... Zo is bijvoorbeeld 4 een element van de verzameling der gehele getallen.

Er zijn twee manieren om de elementen van een verzameling te beschrijven of te specificeren. Een manier is door een intensionele definitie, waarbij gebruik wordt gemaakt van een regel of een semantische beschrijving van de elementen:

A is de verzameling, waarvan de elementen de eerste vier positieve getallen zijn.
B is de verzameling van alle kleuren van de Nederlandse vlag {x | x is een kleur van de Nederlandse vlag}. In plaats van de verticale streep schrijft men ook wel een dubbelepunt: {x : x is een kleur van de Nederlandse vlag}.

De tweede manier is door extensie - dat is wanneer elk element van de verzameling expliciet wordt opgesomd. Een extensionele definitie wordt aangeduid, doordat de opsomming van de elementen tussen accolades wordt geplaatst:

A = {4, 2, 1, 3}
B = {rood, wit, blauw}

Als x een element is van de verzameling A, wordt dit genoteerd als xA. Is x géén element van A, dan wordt dit wel aangeduid door xA.

Bijvoorbeeld met betrekking tot de verzamelingen A = {1,2,3,4}, B = {rood, wit, blauw} (de kleuren in de Nederlandse vlag), zoals hierboven gedefinieerd, geldt

4 ∈ A, maar
groen ∉ B.

Twee verzamelingen zijn aan elkaar gelijk, als ze dezelfde elementen bevatten. Dat twee verzamelingen A en B aan elkaar gelijk zijn, noteert men eenvoudigweg als A = B. Formeel:

A = B betekent dat voor alle x geldt: (xAxB)

Anders dan bij een multiset komt elk element van een verzameling maar één keer voor als element van de verzameling, ook al wordt een element meerdere keren genoemd. Zo is de verzameling letters {a,b,a,c,a} dezelfde als de verzameling {a,b,c} en de verzameling {b,a,c,c}. Alle verzamelingoperaties bewaren de eigenschap dat elk element van de verzameling uniek is. De volgorde, waarin de elementen van een verzameling worden opgesomd, is niet relevant, dit in tegenstelling tot bij een rij of een tupel. Bijvoorbeeld:

{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

omdat de extensionele specificatie alleen betekent dat elk van de opgesomde elementen tot de verzameling behoort.

De lege verzameling, die immers geen elementen heeft, kan genoteerd worden als {}. Vaak wordt hiervoor het symbool ∅ gebruikt.

Het aantal elementen in een verzameling noemt men de kardinaliteit van de verzameling.

Deelverzamelingen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie deelverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
A is een deelverzameling van B
A is een deelverzameling van B

Als elk element van de verzameling A ook element is van de verzameling B, zegt men dat A een deelverzameling is van B. Dit wordt genoteerd als AB (uitgesproken als A is een deel(verzameling) van B of als A wordt omvat door B). In plaats daarvan kan ook geschreven worden: BA , lees als B omvat A, B sluit A in of B is een superset van A. De relatie tussen verzamelingen die wordt vastgelegd door ⊆ wordt inclusie of omvatting genoemd.

Als A een deelverzameling is van, maar niet gelijk is aan, B, wordt A een echte of strikte deelverzameling van B genoemd. Dit wordt wel genoteerd als AB (A is een strikte deelverzameling van B) of BA (B is een strikte superset van A).

Voorbeeld:

  • De verzameling van alle mannen is een strikte deelverzameling van de verzameling van alle mensen.
  • {1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

De uitdrukkingen AB en BA worden door verschillende auteurs anders gebruikt: sommigen gebruiken deze relatie in de betekenis van AB (respectievelijk BA), terwijl anderen er AB (respectievelijk BA) mee bedoelen.

De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling en elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf:

  • ∅ ⊆ A.
  • AA.

Twee deelverzamelingen A en B worden disjunct genoemd wanneer zij geen gemeenschappelijke elementen hebben; hun doorsnede is dan leeg (de lege verzameling).

Een duidelijke maar bruikbare identiteit, die vaak kan worden gebruikt om aan te tonen dat twee ogenschijnlijk verschillende verzamelingen toch aan elkaar gelijk zijn:

  • A = B dan en slechts dan als AB en BA.

Machtsverzamelingen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie machtsverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De machtsverzameling van een verzameling S is de verzameling van alle deelverzamelingen van S. Daartoe behoort de verzameling S zelf en de lege verzameling. Als een eindige verzameling S een kardinaliteit n heeft, dan heeft de machtsverzameling van S kardinaliteit 2n. De machtsverzameling wordt genoteerd als P(S) of als 2S.

Als S een oneindige (aftelbare dan wel overaftelbare) verzameling is, dan is de machtsverzameling van S altijd overaftelbaar. Als S bovendien een verzameling is, dan is er nooit een bijectie van S op P(S) mogelijk. Met andere woorden: de machtsverzameling van S is altijd strikt "groter" dan S.

De machtsverzameling van de verzameling {1, 2, 3} is bijvoorbeeld { {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅ }. De kardinaliteit van de oorspronkelijke verzameling is 3 en de kardinaliteit van de machtsverzameling is 23 = 8. Deze relatie is een van de redenen voor de terminologie machtsverzameling.

Kardinaliteit[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie kardinaliteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De kardinaliteit | S | van een verzameling S is "het aantal elementen van S". Aangezien bijvoorbeeld de Nederlandse vlag drie kleuren kent, is de kardinaliteit van de verzameling B="kleuren in de Nederlandse vlag" gelijk aan | B | = 3.

De lege verzameling ∅ heeft kardinaliteit 0. Hoewel het misschien triviaal lijkt, is de lege verzameling, net zoals het getal nul, belangrijk in de wiskunde; het bestaan van de lege verzameling is zelfs een van de fundamentele concepten uit de axiomatische verzamelingenleer .

Sommige verzamelingen hebben een oneindige kardinaliteit. De verzameling N van natuurlijke getallen is bijvoorbeeld oneindig. Men kan echter demonstreren dat sommige oneindige kardinaliteiten groter zijn dan andere. De verzameling van de reële getallen heeft bijvoorbeeld een grotere kardinaliteit dan de verzameling van de natuurlijke getallen. Het kan worden aangetoond dat de kardinaliteit van (dat wil zeggen: het aantal punten op) een rechte lijn dezelfde is als de kardinaliteit van enig lijnstuk van die lijn, dezelfde als die van het gehele vlak en ook dezelfde als die van enige eindig-dimensionale euclidische ruimte.

Operaties[bewerken]

  • De vereniging van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de elementen die in A of in B (of in beide) zitten. Notatie: AB.
  • De doorsnede van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de verzameling van gemeenschappelijke elementen, dus alle elementen die zowel in A als in B zitten. Notatie: AB.
  • Een verzameling is een deel van het universum U, waarmee in dit verband wordt bedoeld de verzameling met alle mogelijke relevante elementen. De complementaire verzameling Ac van een verzameling A is dan de verzameling van alle elementen in U die niet in A zitten, notatie: Ac = {xU | xA}. Ac wordt in het algemeen als het complement van A aangeduid. Andere notaties voor het complement zijn A' en A.

Samengevat geldt:

Eigenschap Doorsnede Vereniging
Commutatief A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Associatief A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Er is een 0/1 element A ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
Distributief A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Een partitie is een opdeling van een verzameling in niet-lege, onderling disjuncte, deelverzamelingen, die wel blokken worden genoemd. Bijvoorbeeld: Als A={1,2,3,4,5,6,7,8}, dan is { {1,3}, {2,4,5,7}, {6,8} } een partitie van A met drie blokken.

De deelverzamelingen van een gegeven verzameling vormen een booleaanse algebra onder doorsnede en vereniging.

Bekende verzamelingen[bewerken]

Voorbeelden van getallenverzamelingen zijn:

  1. De natuurlijke getallen die in het algemeen aantallen voorstellen en gesloten zijn onder optelling en vermenigvuldiging.
  2. De gehele getallen, die ook gesloten zijn onder aftrekking
  3. De rationale getallen, die bestaan uit de gehele getallen en de breuken.
  4. De reële getallen, waaronder ook de Transcendente getallen vallen.
  5. De complexe getallen verschijnen als oplossing van vergelijkingen als .

Venndiagrammen[bewerken]

Venndiagrammen, genoemd naar John Venn, vormen een illustratie van eigenschappen van verzamelingen.

De doorsnede van twee verzamelingen A en B is in de afbeelding lichtpaars weergegeven.

Eigenschappen van en stellingen over verzamelingen[bewerken]

Enkele eenvoudige stellingen over verzamelingen:

  • Stelling 1: Gegeven drie verzamelingen A, B en C, dan geldt dat als A een deelverzameling is van B en B is een deelverzameling van C, dan is A een deelverzameling van C.
  • Stelling 2: Twee verzamelingen A en B zijn aan elkaar gelijk dan en slechts dan als A een deelverzameling van B is en B een deelverzameling is van A.
  • Stelling 3: De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling.

Relatief complement[bewerken]

Definitie[bewerken]

Het relatieve complement van B met betrekking tot A is:[2]

A \ B = {xA | xB},

(lees: A met daaruit weggelaten B). Het relatieve complement wordt ook wel genoteerd als: AB

Wetten van De Morgan[bewerken]

De wetten van De Morgan luiden:

  • (AB)c = AcBc
  • (AB)c = AcBc
  • A \ (BC) = (A \ B) ∩ (A \ C)
  • A \ (BC) = (A \ B) ∪ (A \ C)

Modellering[bewerken]

Men dient voorzichtig te zijn met verbale beschrijvingen van verzamelingen, omdat deze gemakkelijk tot paradoxen kunnen leiden. De axiomatische verzamelingenleer is geconstrueerd om deze paradoxen te vermijden.

Relaties met andere takken van de wiskunde[bewerken]

Vrijwel alle andere takken van de wiskunde worden gebaseerd op de verzamelingenleer. Zo is bijvoorbeeld in de kansrekening de uitkomstenruimte de universele verzameling van alle mogelijkheden en zijn de gebeurtenissen de (deel)verzamelingen. Ook andere elementaire begrippen in de wiskunde, zoals functies worden gedefinieerd in termen van verzamelingen. Hierbij wordt gebruikgemaakt van het cartesisch product.

1rightarrow blue.svg Zie ook Bovengrens en ondergrens.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]