Overaftelbare verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Overaftelbaarheid)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een overaftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen niet afgeteld kunnen worden. Intuïtief betekent dit dat de verzameling wezenlijk meer elementen bevat dan de natuurlijke getallen. Het gaat hier om de term "wezenlijk". Een verzameling die naast alle natuurlijke getallen nog meer elementen bevat, kan best aftelbaar zijn, zoals de gehele getallen.

Een voorbeeld van een overaftelbare verzameling vormen de reële getallen groter dan 2 en kleiner dan 3. Daarvan zijn er zo veel dat ze niet zijn af te tellen. Daarom heet deze verzameling overaftelbaar.

Meer precies is elke oneindige verzameling overaftelbaar die niet in een bijectief verband staat met de verzameling der natuurlijke getallen en dus een hogere kardinaliteit heeft dan .

Het diagonaalbewijs van Cantor is een bewijs uit het ongerijmde dat de reële getallen niet afgeteld kunnen worden; ze zijn dus overaftelbaar. Ook de verzameling van de transcendente getallen is overaftelbaar.

Volgens de continuümhypothese is er geen overaftelbare verzameling met een kleiner kardinaliteit dan de reële getallen.

Verzameling en machtsverzameling[bewerken]

Met een generalisatie van het diagonaalbewijs van Cantor kan bewezen worden dat de machtsverzameling van een oneindige verzameling overaftelbaar is. Algemeen geldt dat de machtsverzameling een hogere kardinaliteit heeft dan de verzameling zelf. Daarmee ontstaat de mogelijkheid steeds klassen van hogere kardinaliteit te vormen.

Zie ook[bewerken]