Aftelbare verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde noemen we een verzameling aftelbaar als we de elementen ervan kunnen ‘aftellen’. Dat houdt in dat we de elementen op een rij kunnen zetten met een eerste element, een tweede element, enz., waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen.

Een aftelbare verzameling is niet noodzakelijk eindig. Zo zijn ook de gehele getallen aftelbaar. We zetten ze als volgt in een rij om geteld te worden: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enz. Het tellen van de elementen stopt weliswaar nooit, maar elk element komt aan de beurt.

Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar.

Definitie[bewerken]

S heet aftelbaar oneindig als er een bijectie bestaat, of anders gezegd, als S gelijkmachtig is met .

Een verzameling S heet aftelbaar als (equivalente definities):

  • S eindig of aftelbaar oneindig is
  • er een surjectie bestaat
  • er een injectie bestaat
  • er een bijectie bestaat, of voor zeker geheel getal n ≥ 0 een bijectie
  • S gelijkmachtig is met of voor zeker geheel getal n ≥ 0 met

Eigenschappen[bewerken]

  • Als R aftelbaar is en er bestaat een surjectieve functie g tussen R en een bepaalde verzameling S, dan is S ook aftelbaar.
  • Een eindig product van aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Dat kan men als volgt inzien:
Stel dat tot en met aftelbaar zijn, met n een natuurlijk getal. Dan zijn er n surjectieve functies tussen de natuurlijke getallen en . We kunnen die surjectieve functies combineren tot één surjectieve functie:

Daar aftelbaar is voor elke natuurlijke n, zal ook aftelbaar zijn.

Voorbeelden[bewerken]

  • De verzameling van de gehele getallen is aftelbaar. Een voor de hand liggende aftelling is de volgende:
  • Een mogelijke aftelling van is de volgende:
Eerst schrijven we dus de koppeltjes op met som 0, dan die met som 1, 2 enzovoort. Deze procedure kan men uitbreiden naar een willekeurig eindige macht van .
  • De verzameling van de positieve rationale getallen is aftelbaar, want met elk positief rationaal getal correspondeert een koppel natuurlijke getallen (teller, noemer). Voor de volledige verzameling rationale getallen, wordt het iets ingewikkelder:
  • Voor kijken we naar alle getallen van de vorm a/b, met a een natuurlijk getal, en b een van nul verschillend natuurlijk getal. Deze getallen kunnen door een bijectie afgebeeld worden op een deelverzameling van de geordende tripletten (a,b,c), met a ≥ 0, b > 0, a en b copriem, en c = 0 als a/b > 0, anders is c = 1.
Zo wordt 0 afgebeeld op (0,1,0), 1 (= 1/1) op (1,1,0), -1 op (1,1,1), 1/2 op (1,2,0), -1/2 op (1,2,1), 2 op (2,1,0), enz...