Surjectie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een surjectieve, niet injectieve afbeelding

In de wiskunde is een surjectie of surjectieve afbeelding van een verzameling A in een verzameling B een afbeelding, waarbij elk element van B als beeld optreedt. Het bereik van een surjectieve afbeelding is dus gelijk aan het codomein. Men zegt in zo'n geval dat de afbeelding A op B afbeeldt, en noemt de afbeelding kortweg op.

De term surjectief en de daaraan gerelateerde termen injectie en bijectie werden geïntroduceerd door de Bourbaki-groep,[1] een groep van voornamelijk Franse 20e-eeuwse wiskundigen die vanaf 1935 een reeks boeken schreven, waarin een expositie van de moderne geavanceerde wiskunde werd gegeven. Het Franse prefix sur betekent over of boven en heeft betrekking op het feit dat het beeld van het domein van een surjectieve functie het codomein van de functie volledig afdekt.

Definitie[bewerken]

De afbeelding f:A \rightarrow B heet een surjectie, een surjectieve afbeelding of kortweg een afbeelding van A op B, als:

\forall\; b \in B \ \exists\; a \in A : f(a)=b \,.


Voorbeelden[bewerken]

  • De afbeelding f:\mathbb{R} \rightarrow [0, +\infty ) met f(x)=x^2 is surjectief, want voor elke y \geq 0 is er een x \in \mathbb{R} waarvoor f(x) = y.
  • De afbeelding V die aan elk ooit op aarde levende mens zijn of haar vader toevoegt (dus bijvoorbeeld V(George W. Bush) = George Bush senior, V(Kim Clijsters) = Lei Clijsters, enz.) is niet surjectief als afbeelding van alle mensen in alle mensen, want vrouwen treden niet op als vader. Ook als afbeelding in alle mannen is de afbeelding niet surjectief, want niet iedere man is ook vader.
  • De afbeelding f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} met f(x)=x^2 is geen surjectie, want er is geen element x \in \mathbb{R} waarvoor f(x) = -1.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. Vroegste gebruik van enkele termen in de wiskunde: injectie, surjectie en bijectie bevat de geschiedenis van surjectie en gerelateerde termen.