Injectie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Injectieve, niet surjectieve functie

In de wiskunde is een injectie of injectieve afbeelding, ook eeneenduidige afbeelding of een-op-eenafbeelding genoemd, een afbeelding, waarbij geen twee verschillende elementen hetzelfde beeld hebben, dus anders gezegd ieder beeld een uniek origineel heeft. De definitie is voor functies hetzelfde. Een injectie is dus een soort relatie tussen twee verzamelingen. Twee verwante soorten relatie, die aan overeenkomstige eigenschappen voldoen, zijn de surjectie en de bijectie.

De aanduiding 'injectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

De afbeelding heet een injectie of injectieve afbeelding als voor alle geldt:

Voorbeeld en tegenvoorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

  • Beschouw de afbeelding , gedefinieerd door . Deze afbeelding is injectief, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van en : , volgt dat de originelen en gelijk zijn.
  • Beschouw daarentegen de afbeelding , gedefinieerd door . Deze is niet injectief, omdat bijvoorbeeld , dus er verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • Zijn twee functies en injectief, dan geldt dit ook voor de samengestelde functie .
  • Gegeven dat injectief is, dan is ook injectief.
  • Een functie is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling en ieder tweetal functies de logische implicatie geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de monomorfismen precies de injectieve functies zijn.
  • Een functie is injectief dan en slechts dan als zij een inverse heeft, dat wil zeggen een functie met de eigenschap dat . Hier wordt met de identieke afbeelding bedoeld. De definitie kan eventueel ook tot de linksinverse worden beperkt.
  • Als injectief is, dan is , dat wil zeggen dezelfde functie, waarin alleen het codomein is vervangen door het beeld , bijectief. Hier is dus in ieder geval .
  • Voor twee verzamelingen en wordt de notatie wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie bestaat. In dit geval heeft minstens evenveel elementen als . Om hierover voor oneindige verzamelingen iets te kunnen zeggen wordt de kardinaliteit ingevoerd. Als er een injectie en een injectie bestaan, is er volgens de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder ook een bijectie tussen en .