Identieke afbeelding

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een identieke afbeelding of identieke functie (ook identiteit of identiteitsfunctie genoemd) een afbeelding, meestal voorgesteld door I, van een niet-lege verzameling naar zichzelf die elk element op zichzelf afbeeldt. De identieke functie is een functie die eigenlijk geen effect heeft. Hij geeft altijd dezelfde waarde terug die als argument is gebruikt.

Definitie[bewerken]

De identieke afbeelding op de niet lege verzameling V is de functie IV → V gedefinieerd voor elke x in V door:

\!\,I(x) = x.

Om verwarring met de identieke afbeelding op een andere verzameling te voorkomen noteert men wel IV. In plaats van I schrijft men ook wel id en idV.

Algebraïsche eigenschappen[bewerken]

Als g: M → N een willekeurige functie is, geldt g o IM = g = IN o g (waar o functie-compositie voorstelt). IM is dus het neutrale element van de monoïde van alle functies van M naar M.

Aangezien het identiteitselement van een monoïde uniek is, is het ook mogelijk de identiteitsfunctie op M te definiëren als dit element. Zo'n definitie generaliseert het concept van een identiteitsmorfisme in categorietheorie waarin de endomorfismen van M niet functies hoeven zijn.

Voorbeeld[bewerken]

  • In een n-dimensionale vectorruimte wordt voor elke coördinatisering de identieke afbeelding voorgesteld door de eenheidsmatrix In.