Functiecompositie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
g o f, de compositie van de functies f en g. (g o f)(c)  geeft bijvoorbeeld  #.

In de wiskunde is functiecompositie, of samenstelling, de constructie van een nieuwe functie uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies f en g noemt men een samengestelde functie. genoteerd als g o f. Er geldt:

(g \circ f) (x)=g(f(x)).

In de nevenstaande figuur is dit in beeld gebracht. Daarin zien we bijvoorbeeld dat de functie f aan het origineel b het beeld f(b)=1 toevoegt. De functie g beeldt het origineel 1 af op g(1)=@. De samenstelling voegt dus aan het origineel b het symbool @ toe:

(g \circ f) (b)=g(f(b))=g(1)= @.

Formele definitie[bewerken]

De samenstelling van de twee functies  f: X \to Y en  g: Y \to Z , genoteerd als g o f, is gedefinieerd door:

 \forall x \in X, \ (g\circ f)(x)=g(f(x)).


De notatie g \circ f laat zich lezen als " f gevolgd door  g " maar ook als " g na  f ". Merk op dat men soms g \circ f (x) schrijft voor (g \circ f) (x).

Eigenschappen[bewerken]

Associativiteit[bewerken]

Functiecompositie is associatief, dat wil zeggen dat voor de functies f, g en h geldt dat:

\left(h\circ g\right)\circ f = h\circ\left(g\circ f\right)

dit aangezien

((h \circ g) \circ f) (x) = (h \circ g) (f(x)) = h(g(f(x)))
(h \circ (g \circ f)) (x) = h ((g \circ f)(x)) = h(g(f(x)))

Commutativiteit[bewerken]

Functiecompositie is in het algemeen niet commutatief; voor de functies

 f(x):=x^2 \qquad \mbox{en} \qquad g(x):=x+1

geldt bijvoorbeeld dat:

(f \circ g)(x) = f(x+1) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
(g \circ f)(x) = g(x^2) = x^2 + 1

Identieke afbeeldingen[bewerken]

De identieke afbeelding gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie f : AB geldt dat

f \circ \mathrm{id}_A = f = \mathrm{id}_B \circ f,

waar idA en idB de respectievelijke identiteiten op de verzamelingen A en B weergeven.

Injectiviteit, surjectiviteit, bijectiviteit[bewerken]

Belangrijke kenmerken die een functie f bezitten kan, zijn

  • Injectiviteit (f beeldt niet meer dan één element uit A af op een bepaald element uit B),
  • Surjectiviteit (f beeldt ten minste één element uit A af op een bepaald element uit B),
  • Bijectiviteit (f beeldt precies één element van A af op een bepaald element uit B).

Elk van deze eigenschappen is ook van toepassing op de samengestelde functie, daarom geldt dat:

  • de functiecompositie van injectieve functies is injectief.
  • de functiecompositie van surjectieve functies is surjectief.
  • de functiecompositie van bijectieve functies is bijectief.

Omgekeerd geldt dat als een functiecompositie

g \circ f
  • Injectief is, dan is f injectief.
  • Surjectief is, dan is g surjectief,
  • Bijectief is, dan is f injectief en is g surjectief.

Zie ook[bewerken]