Functiecompositie

Compositie $g\circ f$ van de functies $f$ en $g$; $(g\circ f)(c)=\#$ bijvoorbeeld.

In de wiskunde is functiecompositie, of samenstelling, de constructie van een nieuwe functie uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies $f$ en $g$ noemt men een samengestelde functie. genoteerd als $g\circ f$. Er geldt:

$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$

In de nevenstaande figuur is dit in beeld gebracht. Daarin ziet men bijvoorbeeld dat de functie $f$ aan het origineel $b$ het beeld $f(b)=1$ toevoegt. De functie $g$ beeldt het origineel 1 af op $g(1)=$ @. De samenstelling $g\circ f$ voegt dus aan het origineel $b$ het symbool @ toe:

$(g\circ f)(b)=g(f(b))=g(1)=$ @.

Formele definitie

De samenstelling van de twee functies $f:X\to Y$ en $g:Y\to Z$, genoteerd als $g\circ f:X\to Z$, is voor $x\in X$ gedefinieerd door:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

De notatie $g\circ f$ laat zich lezen als "$f$ gevolgd door $g$" maar ook als "$g$ na $f$". Merk op dat men soms $g\circ f(x)$ schrijft voor $(g\circ f)(x)$.

Eigenschappen

Associativiteit

Functiecompositie is associatief, dat wil zeggen dat voor de functies $f,g$ en $h$ geldt dat:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$,

aangezien

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$

en

$(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))$

Commutativiteit

De volgorde van de functies is uiteraard van belang, zodat functiecompositie in het algemeen niet commutatief is. Voor de functies $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ en $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ met

$f(x)=x^{2}$ en $g(x)=x+1$

geldt bijvoorbeeld:

$(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

en

$(g\circ f)(x)=g(x^{2})=x^{2}+1$

Identieke afbeeldingen

De identieke afbeelding gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie $f:A\to B$ geldt dat

$f\circ \mathrm {id} _{A}=f=\mathrm {id} _{B}\circ f$,

waar $\mathrm {id} _{A}$ en $\mathrm {id} _{B}$ de respectievelijke identiteiten op de verzamelingen $A$ en $B$ zijn.

Injectiviteit, surjectiviteit, bijectiviteit

Belangrijke kenmerken die een functie $f$ bezitten kan, zijn

• Injectiviteit ($f$ beeldt niet meer dan één element uit $A$ af op een bepaald element uit $B$),
• Surjectiviteit ($f$ beeldt ten minste één element uit $A$ af op een bepaald element uit $B$),
• Bijectiviteit ($f$ beeldt precies één element van $A$ af op een bepaald element uit $B$).

Elk van deze eigenschappen is ook van toepassing op de samengestelde functie, daarom geldt dat:

• de functiecompositie van injectieve functies is injectief.
• de functiecompositie van surjectieve functies is surjectief.
• de functiecompositie van bijectieve functies is bijectief.

Omgekeerd geldt: als een functiecompositie $g\circ f$

• injectief is, dan is $f$ injectief.
• surjectief is, dan is $g$ surjectief,
• bijectief is, dan is $f$ injectief en $g$ surjectief.

Zie ook

• Samengestelde relatie