Functiecompositie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Compositie van de functies en ; bijvoorbeeld.

In de wiskunde is functiecompositie, of samenstelling, de constructie van een nieuwe functie uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies en noemt men een samengestelde functie. genoteerd als . Er geldt:

In de nevenstaande figuur is dit in beeld gebracht. Daarin ziet men bijvoorbeeld dat de functie aan het origineel het beeld toevoegt. De functie beeldt het origineel 1 af op @. De samenstelling voegt dus aan het origineel het symbool @ toe:

@.

Formele definitie[bewerken]

De samenstelling van de twee functies en , genoteerd als , is voor gedefinieerd door:

.

De notatie laat zich lezen als " gevolgd door " maar ook als " na ". Merk op dat men soms schrijft voor .

Eigenschappen[bewerken]

Associativiteit[bewerken]

Functiecompositie is associatief, dat wil zeggen dat voor de functies en geldt dat:

,

aangezien

en

Commutativiteit[bewerken]

De volgorde van de functies is uiteraard van belang, zodat functiecompositie in het algemeen niet commutatief is. Voor de functies en met

en

geldt bijvoorbeeld:

en

Identieke afbeeldingen[bewerken]

De identieke afbeelding gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie geldt dat

,

waar en de respectievelijke identiteiten op de verzamelingen en zijn.

Injectiviteit, surjectiviteit, bijectiviteit[bewerken]

Belangrijke kenmerken die een functie bezitten kan, zijn

  • Injectiviteit ( beeldt niet meer dan één element uit af op een bepaald element uit ),
  • Surjectiviteit ( beeldt ten minste één element uit af op een bepaald element uit ),
  • Bijectiviteit ( beeldt precies één element van af op een bepaald element uit ).

Elk van deze eigenschappen is ook van toepassing op de samengestelde functie, daarom geldt dat:

  • de functiecompositie van injectieve functies is injectief.
  • de functiecompositie van surjectieve functies is surjectief.
  • de functiecompositie van bijectieve functies is bijectief.

Omgekeerd geldt: als een functiecompositie

  • injectief is, dan is injectief.
  • surjectief is, dan is surjectief,
  • bijectief is, dan is injectief en surjectief.

Zie ook[bewerken]